Os homens
e
, cada um deles com 160 lb, estão sobre um carrinho de 200 lb . Cada homem se desloca com uma velocidade de 3 pés/s, medida em relação ao carrinho. Despreze a massa das rodas e suponha que os saltos são realizados horizontalmente.
Determine a velocidade final do carrinho se (a)
corre e salta, e, então,
corre e salta a partir da mesma extremidade
Determine a velocidade final do carrinho se (a)
Passo 1
O enunciado dá: dois homens
e
, cada um com massa
lb, estão sobre um carrinho de massa
lb. Cada homem salta com velocidade de
pés/s em relação ao carrinho (ou seja, a velocidade do homem em relação ao carrinho no instante do salto é
ft/s). Inicialmente tudo está em repouso. Desprezamos a massa das rodas e consideramos saltos horizontais.
A pergunta: determinar a velocidade final do carrinho depois que (a) corre e salta, e então
corre e salta a partir da mesma extremidade do carrinho.
A pergunta: determinar a velocidade final do carrinho depois que (a)
Informações relevantes extraídas do enunciado:
onde
é a velocidade do homem em relação ao carrinho no salto. Inicialmente
. Os saltos ocorrem sequencialmente: primeiro
salta, depois
.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática): a única força externa horizontal desprezível significa que o momento linear (quantidade de movimento) do sistema isolado é conservado durante cada interação interna (cada salto). A quantidade de movimento (momentum) de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade. Para um sistema de partículas a conservação diz:
Aqui vamos aplicar essa conservação no instante do salto de cada homem, tratando o salto como um evento no qual massas trocam velocidades instantaneamente, mas sem ação de forças externas horizontais. Outra ideia importante: velocidade relativa. Se um homem deixa o carrinho com velocidade
em relação ao carrinho, a velocidade do homem em relação ao chão é a soma da velocidade do carrinho e dessa velocidade relativa:
quando orientamos positivamente no sentido do salto. Se a velocidade final do carrinho ficar negativa, significa que o carrinho se move na direção oposta ao salto (recuo).
Passo 3
Resolvendo o salto de
(primeiro salto). Antes do salto tudo estava em repouso, então o momento total inicial é zero. Após o salto de
,
tem velocidade em relação ao chão dada por
onde
é a velocidade do conjunto "carrinho +
" logo após
ter saltado. Aplicando conservação de momento (momento antes = momento depois):
Substituindo
obtemos
Agora substituímos os valores numéricos
:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Interpretação: o sinal negativo indica que o carrinho (com
ainda sobre ele) se move na direção oposta ao salto de
(ou seja, o carrinho recua). Em módulo,
ft/s.
Também podemos calcular a velocidade de
em relação ao chão imediatamente após o salto, para referência:
Passo 4
Preparação para o salto de
(segundo salto). Depois do primeiro salto temos:
-
já fora, com velocidade ft/s (positivo no sentido do salto); - o conjunto "carrinho +
" se move com ft/s.
No instante em que
salta, aplicamos novamente conservação de momento para o sistema inteiro no intervalo imediatamente antes e depois do salto de
. O momento total antes do salto de
é a soma dos momentos de
(que continua livre e não participa da troca com o carrinho), de
(que está sobre o carrinho) e do carrinho. Como
está sobre o carrinho antes do salto, sua velocidade naquele instante é
(estava andando ou parado relativo ao carrinho, mas no modelo padrão tratamos o salto como o evento em que ele adquire a velocidade relativa
). Após o salto,
tem velocidade relativa
em relação ao carrinho, então em relação ao chão sua velocidade será
, onde
é a velocidade final do carrinho. Escrevendo conservação do momento total (momento antes = momento depois):
Momento antes do segundo salto:
Momento depois do segundo salto:
Note que
aparece em ambos os lados (pois
não interage mais), então ele se cancela.
Passo 5
Equacionando e isolando
. Igualando momento antes e depois e cancelando
:
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Agora substituímos números:
,
,
,
. Primeiro calcule o denominador e produto:
Portanto
Colocando em denomidador comum
:
logo
Em valor decimal,
Interpretação: o sinal negativo indica que o carrinho está se movendo na direção oposta ao salto (ou seja, recuou para a esquerda) com velocidade de
pés/s em módulo.