Os homens A e B, cada um deles com 160 lb, estão sobre um carrinho de 200 lb . Cada homem se desloca com uma velocidade de 3 pés/s, medida em relação ao carrinho. Despreze a massa das rodas e suponha que os saltos são realizados horizontalmente.
Determine a velocidade final do carrinho se (a) A corre e salta, e, então, B corre e salta a partir da mesma extremidade

Passo 1

O enunciado dá: dois homens A e B, cada um com massa 160 lb, estão sobre um carrinho de massa 200 lb. Cada homem salta com velocidade de 3 pés/s em relação ao carrinho (ou seja, a velocidade do homem em relação ao carrinho no instante do salto é 3 ft/s). Inicialmente tudo está em repouso. Desprezamos a massa das rodas e consideramos saltos horizontais.
A pergunta: determinar a velocidade final do carrinho depois que (a) A corre e salta, e então B corre e salta a partir da mesma extremidade do carrinho.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
m_A = 160,\qquad m_B = 160,\qquad m_C = 200,\qquad u = 3\\ \text{ft/s},
onde u é a velocidade do homem em relação ao carrinho no salto. Inicialmente v_{\text{inicial}}=0. Os saltos ocorrem sequencialmente: primeiro A salta, depois B.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): a única força externa horizontal desprezível significa que o momento linear (quantidade de movimento) do sistema isolado é conservado durante cada interação interna (cada salto). A quantidade de movimento (momentum) de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade. Para um sistema de partículas a conservação diz:
\text{momento total antes} = \text{momento total depois}.
Aqui vamos aplicar essa conservação no instante do salto de cada homem, tratando o salto como um evento no qual massas trocam velocidades instantaneamente, mas sem ação de forças externas horizontais. Outra ideia importante: velocidade relativa. Se um homem deixa o carrinho com velocidade u em relação ao carrinho, a velocidade do homem em relação ao chão é a soma da velocidade do carrinho e dessa velocidade relativa:
v_{\text{homem, chão}} = v_{\text{carrinho}} + u,ã
quando orientamos positivamente no sentido do salto. Se a velocidade final do carrinho ficar negativa, significa que o carrinho se move na direção oposta ao salto (recuo).

Passo 3

Resolvendo o salto de A (primeiro salto). Antes do salto tudo estava em repouso, então o momento total inicial é zero. Após o salto de A, A tem velocidade em relação ao chão dada por
v_A = v_{C1} + u,
onde v_{C1} é a velocidade do conjunto "carrinho + B" logo após A ter saltado. Aplicando conservação de momento (momento antes = momento depois):
0 = m_A v_A + (m_C + m_B) v_{C1}.
Substituindo v_A = v_{C1} + u obtemos
0 = m_A (v_{C1} + u) + (m_C + m_B) v_{C1}.
Agora substituímos os valores numéricos m_A=160,\\ m_B=160,\\ m_C=200,\\ u=3:
0 = 160\,(v_{C1}+3) + 360\,v_{C1}.
Desenvolvendo:
0 = 160 v_{C1} + 480 + 360 v_{C1} = 520 v_{C1} + 480.
Isolando v_{C1}:
520 v_{C1} = -480 \quad\Rightarrow\quad v_{C1} = -\dfrac{480}{520} = -\dfrac{12}{13}\\ \text{ft/s}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o carrinho (com B ainda sobre ele) se move na direção oposta ao salto de A (ou seja, o carrinho recua). Em módulo, v_{C1}=\dfrac{12}{13}\approx 0{,}9231 ft/s.
Também podemos calcular a velocidade de A em relação ao chão imediatamente após o salto, para referência:
v_A = v_{C1} + 3 = -\dfrac{12}{13} + 3 = \dfrac{27}{13}\\ \text{ft/s}\approx 2{,}0769\\ \text{ft/s}.

Passo 4

Preparação para o salto de B (segundo salto). Depois do primeiro salto temos:
  • A já fora, com velocidade v_A=\dfrac{27}{13} ft/s (positivo no sentido do salto);
  • o conjunto "carrinho + B" se move com v_{C1}=-\dfrac{12}{13} ft/s.
No instante em que B salta, aplicamos novamente conservação de momento para o sistema inteiro no intervalo imediatamente antes e depois do salto de B. O momento total antes do salto de B é a soma dos momentos de A (que continua livre e não participa da troca com o carrinho), de B (que está sobre o carrinho) e do carrinho. Como B está sobre o carrinho antes do salto, sua velocidade naquele instante é v_{C1} (estava andando ou parado relativo ao carrinho, mas no modelo padrão tratamos o salto como o evento em que ele adquire a velocidade relativa u). Após o salto, B tem velocidade relativa u em relação ao carrinho, então em relação ao chão sua velocidade será v_{C2}+u, onde v_{C2} é a velocidade final do carrinho. Escrevendo conservação do momento total (momento antes = momento depois):
Momento antes do segundo salto:
P_{\text{antes}} = m_A v_A + (m_C + m_B) v_{C1}.
Momento depois do segundo salto:
P_{\text{depois}} = m_A v_A + m_B (v_{C2}+u) + m_C v_{C2}.
Note que m_A v_A aparece em ambos os lados (pois A não interage mais), então ele se cancela.

Passo 5

Equacionando e isolando v_{C2}. Igualando momento antes e depois e cancelando m_A v_A:
(m_C + m_B) v_{C1} = m_B (v_{C2}+u) + m_C v_{C2}.
Agrupando os termos com v_{C2}:
(m_C + m_B) v_{C1} = (m_B + m_C) v_{C2} + m_B u.
Isolando v_{C2}:
v_{C2} = v_{C1} - \dfrac{m_B u}{m_B + m_C}.
Agora substituímos números: v_{C1}=-\dfrac{12}{13}, m_B=160, m_C=200, u=3. Primeiro calcule o denominador e produto:
m_B + m_C = 360,\qquad m_B u = 160\cdot 3 = 480.
Portanto
v_{C2} = -\dfrac{12}{13} - \dfrac{480}{360} = -\dfrac{12}{13} - \dfrac{4}{3}.
Colocando em denomidador comum 39:
-\dfrac{12}{13} = -\dfrac{36}{39},\qquad -\dfrac{4}{3} = -\dfrac{52}{39},
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v_{C2} = -\dfrac{36}{39} - \dfrac{52}{39} = -\dfrac{88}{39}\\ \text{ft/s}.
Em valor decimal,
v_{C2} \approx -2{,}25641\\ \text{ft/s}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o carrinho está se movendo na direção oposta ao salto (ou seja, recuou para a esquerda) com velocidade de \dfrac{88}{39} pés/s em módulo.

Resposta

\displaystyle v_{\text{carrinho}}=-\dfrac{88}{39}\\ \text{ft/s}

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