A velocidade do bloco de 5 kg quando está a 8 m da superfície da areia é de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine o impulso da areia sobre o bloco necessário para detê-lo. Despreze a distância de penetração do bloco na areia e suponha que ele não ricocheteia. Despreze também o impulso do peso do bloco durante a colisão.

Passo 1

Dados do enunciado e o que se pede:\n
  • Massa do bloco: m=5\\ \mathrm{kg}.\n
  • Quando o bloco está a 8\\ \mathrm{m} da superfície da areia, sua velocidade é v_0=2\\ \mathrm{m/s}.\n
  • O bloco cai essa distância h=8\\ \mathrm{m} até atingir a areia (a velocidade dada é no ponto que está 8\\ \mathrm{m} acima da areia).\n
  • Devemos desprezar a distância de penetração e o ricochete (ou seja, ao colidir ele para sem ricochetear) e desprezar o impulso do peso do bloco durante a colisão.\n
  • O que se pede: o impulso da areia sobre o bloco necessário para detê‑lo (isto é, a magnitude e a direção do impulso que faz a velocidade final ser zero).

Passo 2

Entendendo como encontrar a velocidade do bloco no instante do impacto (logo antes da colisão):\n
Quando um objeto se move com aceleração constante (aqui a aceleração gravitacional g), existe a relação de cinemática que liga velocidades e deslocamento sem envolver o tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 g h.
Aqui:\n
  • v é a velocidade do bloco imediatamente antes de tocar a areia (o que queremos achar),\n
  • v_0 é a velocidade do bloco na posição 8\\ \mathrm{m} acima (dada como 2\\ \mathrm{m/s}),\n
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}),\n
  • h é o deslocamento vertical até a areia ( 8\\ \mathrm{m}).\n
    Aplicando a fórmula:
v^2 = 2^2 + 2\cdot 9{,}8 \cdot 8.

Passo 3

Fazendo as contas para achar v:\n
Calcule 2\cdot 9{,}8 \cdot 8:
2\cdot 9{,}8 \cdot 8 = 156{,}8.
Somando com 2^2=4:
v^2 = 4 + 156{,}8 = 160{,}8.
Tomando a raiz quadrada:
v = \sqrt{160{,}8}\approx 12{,}683\\ \mathrm{m/s}.
Então a velocidade do bloco no instante do impacto é aproximadamente 12{,}68\\ \mathrm{m/s} (direção para baixo).

Passo 4

Ligando impulso e variação de momento (a teoria usada para obter o impulso):\n
O impulso \mathbf{J} aplicado sobre um corpo é igual à variação do momento linear do corpo:
\mathbf{J} = \Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_\text{f} - \mathbf{p}_\text{i}.
Aqui:\n
  • \mathbf{p}_\text{i}=m\mathbf{v}_\text{i} é o momento imediatamente antes da colisão,\n
  • \mathbf{p}_\text{f}=m\mathbf{v}_\text{f} é o momento imediatamente depois da colisão.\n
    No nosso caso o bloco fica parado após a colisão, então \mathbf{v}_\text{f}=0 e \mathbf{p}_\text{f}=0. Portanto
\mathbf{J} = -\mathbf{p}_\text{i} = -m\mathbf{v}_\text{i}.
Se escolhermos o sentido para baixo como negativo, então \mathbf{v}_\text{i}=-v (com v>0 sendo a magnitude encontrada). Assim
\mathbf{J} = -m(-v) = +m v,
ou seja, o impulso tem magnitude m v e direção para cima (oposta à velocidade inicial).

Passo 5

Cálculo numérico do impulso e interpretação:\n
Usando m=5\\ \mathrm{kg} e v\approx 12{,}683\\ \mathrm{m/s}:
J = m v = 5 \cdot 12{,}683 \approx 63{,}415\\ \mathrm{N\cdot s}.
Arredondando sensivelmente (duas casas significativas no dado inicial v_0=2\\ \mathrm{m/s} sugere uma precisão moderada), obtemos
J \approx 63{,}4\\ \mathrm{N\cdot s},
e a direção do impulso é para cima (oposta ao movimento do bloco) — é esse impulso que pára o bloco.

Resposta

J=63{,}4\\ \mathrm{N\cdot s} para cima

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