Os homens A e B, cada um deles com 160 lb, estão sobre um carrinho de 200 lb . Cada homem se desloca com uma velocidade de 3 pés/s, medida em relação ao carrinho. Despreze a massa das rodas e suponha que os saltos são realizados horizontalmente.
Determine a velocidade final do carrinho se (b) ambos correm ao mesmo tempo e saltam simultaneamente.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade final do carrinho no caso em que ambos os homens correm ao mesmo tempo sobre o carrinho e saltam simultaneamente, os saltos sendo horizontais.\n
Informações dadas:
  • Peso de cada homem: 160\\ \text{lb}.
  • Peso do carrinho: 200\\ \text{lb}.
  • Velocidade de cada homem em relação ao carrinho no instante do salto: 3\\ \text{ft/s}.
  • Desprezar massa das rodas.
  • Saltos são realizados horizontalmente.
  • Pressuposição usual (implícita): o sistema está inicialmente em repouso em relação ao solo (momentum inicial horizontal zero) e não há forças externas horizontais significativas (assim a quantidade de movimento horizontal total do sistema é conservada).

Passo 2

Vamos primeiro transformar os pesos (forças) em massas (unidade slugs), porque estamos trabalhando com a conservação de momento linear em unidades inglesas. A relação entre peso W em libras-força e massa m em slugs é
m=\frac{W}{g},
onde g é a aceleração da gravidade em pés por segundo ao quadrado. Usaremos g=32\\ \text{ft/s}^2.\n
Calculando cada massa:
m_{\text{homem}}=\frac{160}{32}=5\\ \text{slugs}.
m_{\text{carrinho}}=\frac{200}{32}=6{,}25\\ \text{slugs}.

Passo 3

Explicação física e escolha de referência: escolho a direção para a direita como positiva. Se os homens correm para a direita e saltam nessa direção, o carrinho tende a se mover para a esquerda (sinal negativo). Como não há forças externas horizontais, a quantidade de movimento linear total do sistema (dois homens + carrinho) antes do salto é igual à quantidade de movimento total depois do salto. Isso é a conservação do momento linear:\n
Se V_c for a velocidade final do carrinho (em ft/s, positiva para a direita), e v_m for a velocidade de cada homem em relação ao solo após o salto, então
\text{momento total final} = m_A v_{A} + m_B v_{B} + m_{\text{carrinho}} V_c.

Passo 4

Relacionando velocidades relativas: cada homem tem velocidade de 3\\ \text{ft/s} em relação ao carrinho, para a direita. A velocidade de um homem em relação ao solo é, portanto,
v_{\text{homem}} = V_c + 3,
porque velocidade em relação ao solo = velocidade do carrinho + velocidade relativa ao carrinho. (Isso vale para cada um dos dois homens; ambos têm a mesma velocidade relativa e, portanto, a mesma velocidade em relação ao solo.)

Passo 5

Escrever a conservação do momento (momento inicial é zero, já que o sistema começa em repouso):
0 = 2\cdot m_{\text{homem}}\,(V_c+3) + m_{\text{carrinho}}\,V_c.
Substituindo as massas calculadas:
0 = 2\cdot 5\,(V_c+3) + 6{,}25\,V_c.

Passo 6

Desenvolvendo a equação e resolvendo para V_c:
0 = 10V_c + 30 + 6{,}25V_c
0 = (10 + 6{,}25) V_c + 30
0 = 16{,}25\,V_c + 30
16{,}25\,V_c = -30
V_c = -\frac{30}{16{,}25}.
Simplificando a fração: 16{,}25=\dfrac{65}{4}, então
V_c = -\frac{30}{65/4} = -\frac{30\cdot 4}{65} = -\frac{120}{65} = -\frac{24}{13}\\ \text{ft/s}.
Em valor decimal,
V_c \approx -1{,}84615\\ \text{ft/s}.
O sinal negativo indica que o carrinho se move para a esquerda (oposto à direção do salto dos homens).

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: cada homem sai com velocidade em relação ao solo de
v_{\text{homem}}=V_c+3 = -\frac{24}{13}+3 = \frac{39-24}{13}=\frac{15}{13}\\ \text{ft/s}\approx 1{,}1538\\ \text{ft/s},
positivo para a direita, consistente com o enunciado. A conservação do momento está satisfeita pelos valores encontrados.

Resposta

-\dfrac{24}{13}\\ \text{ft/s}

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