2.5.1 Los rieles de una vía de ferrocarril están soldados en sus extremos (para formar rieles continuos y así eliminar el sonido del golpeteo de las ruedas) cuando la temperatura es
.
¿Qué esfuerzo de compresión
se produce en los rieles cuando se calientan con el sol a
si el coeficiente de dilatación térmica
y el módulo de elasticidad
?
¿Qué esfuerzo de compresión
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temperatura em que os rieles foram soldados:
. - Temperatura quando aquecidos ao sol:
. - Coeficiente de dilatação térmica:
. - Módulo de elasticidade (módulo de Young):
. - Pergunta: qual é o esforço de compressão
produzido nos rieles quando a temperatura sobe de para (isto é, )?
Passo 2
Conceito de deformação térmica livre (aula curta): se um corpo pode expandir livremente quando sua temperatura muda, a variação relativa de comprimento (deformação térmica) é dada por
onde:
-
é a deformação térmica (variação relativa de comprimento, adimensional), -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade aqui), -
é a variação de temperatura em .
Exemplo rápido: se
e
, então
, ou seja, um comprimento de
mm aumentaria
mm.
Passo 3
Situação com restrição (explicação): os rieles estão soldados nas extremidades, ou seja, não podem alongar quando aquecem. Logo, a expansão térmica livre é impedida. Nesse caso, o comprimento não muda macroscopicamente, então a deformação total
. Podemos decompor:
onde
é a deformação causada por esforços (compressão/tensão) que surgem para impedir a expansão. Como
, temos
Ou seja: a barra fica comprimida com deformação igual em magnitude à deformação térmica, mas de sinal oposto.
Passo 4
Lei de Hooke (ligando deformação mecânica ao esforço): para materiais elásticos lineares e dentro do limite elástico, a relação entre esforço (tensão) e deformação é
onde:
-
é o esforço (tensão) em , -
é o módulo de elasticidade em , -
é a deformação mecânica adimensional.
Substituindo
, obtemos a fórmula direta para o esforço devido à restrição térmica:
O sinal negativo indica que é um esforço de compressão (se adotarmos tensão positiva para tração).
Passo 5
Aplicando os números do enunciado passo a passo:
Primeiro a variação de temperatura:
Calcula-se
:
Agora multiplica-se por
:
Fazendo a conta com potências de dez:
Então
Interpretação: o esforço tem magnitude
e é compressivo (por isso o sinal negativo).