2.5.1 Los rieles de una vía de ferrocarril están soldados en sus extremos (para formar rieles continuos y así eliminar el sonido del golpeteo de las ruedas) cuando la temperatura es 60^{\circ} \mathrm{F}.
¿Qué esfuerzo de compresión \sigma se produce en los rieles cuando se calientan con el sol a 120^{\circ} \mathrm{F} si el coeficiente de dilatación térmica \alpha=6.5 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{F} y el módulo de elasticidad E=30 \times 10^{6} \mathrm{psi} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temperatura em que os rieles foram soldados: \;60^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura quando aquecidos ao sol: \;120^\circ\mathrm{F}.
  • Coeficiente de dilatação térmica: \;\alpha = 6{,}5\times 10^{-6}\;/^\circ\mathrm{F}.
  • Módulo de elasticidade (módulo de Young): \;E = 30\times 10^{6}\;\mathrm{psi}.
  • Pergunta: qual é o esforço de compressão \sigma produzido nos rieles quando a temperatura sobe de \;60^\circ\mathrm{F} para \;120^\circ\mathrm{F} (isto é, \Delta T = 60^\circ\mathrm{F})?

Passo 2

Conceito de deformação térmica livre (aula curta): se um corpo pode expandir livremente quando sua temperatura muda, a variação relativa de comprimento (deformação térmica) é dada por
\epsilon_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T,
onde:
  • \epsilon_{\text{th}} é a deformação térmica (variação relativa de comprimento, adimensional),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade 1/^\circ\mathrm{F} aqui),
  • \Delta T é a variação de temperatura em ^\circ\mathrm{F}.
Exemplo rápido: se \alpha=1\times10^{-5} e \Delta T=10^\circ\mathrm{F}, então \epsilon_{\text{th}}=1\times10^{-4}, ou seja, um comprimento de 1{,}000 mm aumentaria 0{,}1 mm.

Passo 3

Situação com restrição (explicação): os rieles estão soldados nas extremidades, ou seja, não podem alongar quando aquecem. Logo, a expansão térmica livre é impedida. Nesse caso, o comprimento não muda macroscopicamente, então a deformação total \epsilon_{\text{total}}=0. Podemos decompor:
\epsilon_{\text{total}}=\epsilon_{\text{mecânica}}+\epsilon_{\text{th}},â
onde \epsilon_{\text{mecânica}}â é a deformação causada por esforços (compressão/tensão) que surgem para impedir a expansão. Como \epsilon_{\text{total}}=0, temos
\epsilon_{\text{mecânica}}=-\epsilon_{\text{th}}.â
Ou seja: a barra fica comprimida com deformação igual em magnitude à deformação térmica, mas de sinal oposto.

Passo 4

Lei de Hooke (ligando deformação mecânica ao esforço): para materiais elásticos lineares e dentro do limite elástico, a relação entre esforço (tensão) e deformação é
\sigma = E\,\epsilon_{\text{mecânica}},â
onde:
  • \sigma é o esforço (tensão) em \mathrm{psi},
  • E é o módulo de elasticidade em \mathrm{psi},
  • \epsilon_{\text{mecânica}}â é a deformação mecânica adimensional.
Substituindo \epsilon_{\text{mecânica}}=-\epsilon_{\text{th}}=-\alpha\,\Delta Tâ, obtemos a fórmula direta para o esforço devido à restrição térmica:
\sigma = -E\,\alpha\,\Delta T.
O sinal negativo indica que é um esforço de compressão (se adotarmos tensão positiva para tração).

Passo 5

Aplicando os números do enunciado passo a passo:
Primeiro a variação de temperatura:
\Delta T = 120^\circ\mathrm{F}-60^\circ\mathrm{F}=60^\circ\mathrm{F}.
Calcula-se \alpha\,\Delta T:
\alpha\,\Delta T = 6{,}5\times10^{-6}\cdot 60 = 3{,}9\times10^{-4}.
Agora multiplica-se por E:
E\,(\alpha\,\Delta T) = 30\times10^{6}\cdot 3{,}9\times10^{-4}.
Fazendo a conta com potências de dez:
30\times 3{,}9 \times 10^{6-4}=117 \times 10^{2}=1{,}17\times10^{4}.
Então
\sigma = -E\,\alpha\,\Delta T = -1{,}17\times10^{4}\;\mathrm{psi}.
Interpretação: o esforço tem magnitude 1{,}17\times10^{4}\;\mathrm{psi} e é compressivo (por isso o sinal negativo).

Resposta

-1{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{psi} (compressão)

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