Um hospital possui 2 médicos atendendo em paralelo. Os pacientes chegam segundo um processo Poisson com taxa média de 6 pacientes por hora
. O tempo médio de atendimento é de 20 minutos por paciente, ou seja, cada médico atende em média 3 pacientes por hora
.
O sistema é do tipo M/M/2.
Pergunta: Qual é o tempo médio de espera na fila (Wq) de um paciente?
Fórmulas úteis para
.
- Utilização por servidor:
- Probabilidade de sistema vazio (PO):
- Probabilidade de espera (Erlang C):
- Tempo médio de espera na fila:
Escolha uma opção:
a. 10 minutos
b. 20 minutos
c. 40 minutos
d. o tempo médio de espera não é definido (tende ao infinito).
O sistema é do tipo M/M/2.
Pergunta: Qual é o tempo médio de espera na fila (Wq) de um paciente?
a. 10 minutos
b. 20 minutos
c. 40 minutos
d. o tempo médio de espera não é definido (tende ao infinito).
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o tempo médio de espera na fila
:
- Taxa de chegadas:
pacientes por hora. - Taxa de serviço por médico:
pacientes por hora. - Número de servidores (médicos):
. - Modelo:
.
Pergunta: Qual é o valor de
(tempo médio de espera na fila) para um paciente?
Passo 2
Vamos calcular a utilização por servidor
. Primeiro explico a fórmula e o significado das variáveis:
-
é a taxa média de chegadas (clientes por unidade de tempo). -
é a taxa média de atendimento por servidor (clientes por unidade de tempo). -
é o número de servidores. -
é a utilização por servidor, isto é, a fração do tempo, em média, que cada servidor está ocupado.
A fórmula é
Substituindo os valores dados:
Interpretação imediata:
significa que, em média, cada servidor está ocupado
do tempo.
Passo 3
Agora preciso discutir a condição de existência de regime estacionário (ou seja, de um tempo médio de espera finito). Para o sistema
com fila infinita a condição necessária para existir uma solução estacionária é
ou seja, a taxa total de serviço
deve ser maior que a taxa de chegadas
. Caso contrário, as chegadas, em média, chegam tão rapidamente quanto ou mais rápido que a capacidade total de atendimento, e a fila tende a crescer sem limite.
Calculemos a diferença entre capacidade total e chegadas:
Como a diferença é zero e
, a condição
NÃO é satisfeita.
Passo 4
Vendo as fórmulas fornecidas: a fórmula para o tempo médio de espera na fila é
onde
(Erlang C) é uma probabilidade entre
e
. Note que no denominador aparece
. No nosso caso este denominador é
, portanto a expressão resulta em divisão por zero — isto é,
tende ao infinito.
Outra observação: a fórmula de
e de
contém o fator
no denominador; com
essas expressões ficam indefinidas (divisão por zero), sinalizando que não existe estado estacionário bem definido.
Em linguagem mais intuitiva: como a taxa média de chegadas é igual à capacidade média total de atendimento, os médicos ficam ocupados o tempo todo, e qualquer pequena flutuação nas chegadas faz a fila crescer sem que o sistema tenha “folga” para reduzir a fila. Portanto o tempo médio de espera na fila não é finito — tende ao infinito.
Passo 5
Conclusão prática e palavra de incentivo: isso significa que, sob as condições dadas, o hospital está dimensionado exatamente na fronteira da capacidade; para ter esperas médias finitas seria preciso aumentar a capacidade (por exemplo, adicionar mais médico ou reduzir o tempo de atendimento) de modo que
. Força aí — é normal ficar preocupado com esses detalhes em prova; aqui a verificação simples de
é o atalho que resolve a questão rapidamente.
Resposta
d. o tempo médio de espera não é definido (tende ao infinito).