Um hospital possui 2 médicos atendendo em paralelo. Os pacientes chegam segundo um processo Poisson com taxa média de 6 pacientes por hora (\lambda=6). O tempo médio de atendimento é de 20 minutos por paciente, ou seja, cada médico atende em média 3 pacientes por hora (\mu=3).
O sistema é do tipo M/M/2.
Pergunta: Qual é o tempo médio de espera na fila (Wq) de um paciente?

Fórmulas úteis para M / M / c M / M / c.

  1. Utilização por servidor:
\rho=\frac{\lambda}{c \cdot \mu}
  1. Probabilidade de sistema vazio (PO):
P_{0}=\left[\sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda / \mu)^{n}}{n!}+\frac{(\lambda / \mu)^{c}}{c!\cdot(1-\rho)}\right]^{-1}
  1. Probabilidade de espera (Erlang C):
P_{e s p e r a}=\frac{(\lambda / \mu)^{c}}{c!\cdot(1-\rho)} \cdot P_{0}
  1. Tempo médio de espera na fila:
W_{q}=\frac{P_{e s p e r a}}{c \cdot \mu-\lambda}
Escolha uma opção:
a. 10 minutos
b. 20 minutos
c. 40 minutos
d. o tempo médio de espera não é definido (tende ao infinito).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o tempo médio de espera na fila W_q:
  • Taxa de chegadas: \lambda=6 pacientes por hora.
  • Taxa de serviço por médico: \mu=3 pacientes por hora.
  • Número de servidores (médicos): c=2.
  • Modelo: M/M/2.
Pergunta: Qual é o valor de W_q (tempo médio de espera na fila) para um paciente?

Passo 2

Vamos calcular a utilização por servidor \rho. Primeiro explico a fórmula e o significado das variáveis:
  • \lambda é a taxa média de chegadas (clientes por unidade de tempo).
  • \mu é a taxa média de atendimento por servidor (clientes por unidade de tempo).
  • c é o número de servidores.
  • \rho é a utilização por servidor, isto é, a fração do tempo, em média, que cada servidor está ocupado.
A fórmula é
\rho=\frac{\lambda}{c\cdot\mu}.
Substituindo os valores dados:
\rho=\frac{6}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1.
Interpretação imediata: \rho=1 significa que, em média, cada servidor está ocupado 100\% do tempo.

Passo 3

Agora preciso discutir a condição de existência de regime estacionário (ou seja, de um tempo médio de espera finito). Para o sistema M/M/c com fila infinita a condição necessária para existir uma solução estacionária é
\rho<1,
ou seja, a taxa total de serviço c\cdot\mu deve ser maior que a taxa de chegadas \lambda. Caso contrário, as chegadas, em média, chegam tão rapidamente quanto ou mais rápido que a capacidade total de atendimento, e a fila tende a crescer sem limite.
Calculemos a diferença entre capacidade total e chegadas:
c\cdot\mu-\lambda=2\cdot 3-6=6-6=0.
Como a diferença é zero e \rho=1, a condição \rho<1 NÃO é satisfeita.

Passo 4

Vendo as fórmulas fornecidas: a fórmula para o tempo médio de espera na fila é
W_{q}=\frac{P_{espera}}{c\cdot\mu-\lambda},
onde P_{espera} (Erlang C) é uma probabilidade entre 0 e 1. Note que no denominador aparece c\cdot\mu-\lambda. No nosso caso este denominador é 0, portanto a expressão resulta em divisão por zero — isto é, W_q tende ao infinito.
Outra observação: a fórmula de P_{0} e de P_{espera} contém o fator (1-\rho) no denominador; com \rho=1 essas expressões ficam indefinidas (divisão por zero), sinalizando que não existe estado estacionário bem definido.
Em linguagem mais intuitiva: como a taxa média de chegadas é igual à capacidade média total de atendimento, os médicos ficam ocupados o tempo todo, e qualquer pequena flutuação nas chegadas faz a fila crescer sem que o sistema tenha “folga” para reduzir a fila. Portanto o tempo médio de espera na fila não é finito — tende ao infinito.

Passo 5

Conclusão prática e palavra de incentivo: isso significa que, sob as condições dadas, o hospital está dimensionado exatamente na fronteira da capacidade; para ter esperas médias finitas seria preciso aumentar a capacidade (por exemplo, adicionar mais médico ou reduzir o tempo de atendimento) de modo que c\cdot\mu>\lambda. Força aí — é normal ficar preocupado com esses detalhes em prova; aqui a verificação simples de \rho é o atalho que resolve a questão rapidamente.

Resposta

d. o tempo médio de espera não é definido (tende ao infinito).

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