(HSU, Schaum, Problema 2.52, p. 107) A resposta ao degrau s(t) de um sistema linear contínuo no tempo é dada por s(t)=[cos omega0 t] u(t). Encontre a resposta ao impulso h(t) do sistema.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a resposta ao degrau (ou “step response”) de um sistema LTI contínuo é
s(t) = cos(omega0 t),u(t)
E a gente precisa encontrar a resposta ao impulso s(t) = integral-infty^t h(tau),dtau Longrightarrow h(t) = ddt,s(t) .
Conteúdo envolvido: teoria de sistemas lineares contínuos (LTI), em especial a relação entre resposta ao degrau e resposta ao impulso.
O que vamos usar:
  1. A propriedade de que, para um sistema causal e LTI,
  2. Derivação de produto envolvendo e a noção de que .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a relação
h(t) = ddt,s(t)
Isso vale porque s(t) = cos(omega0 t),u(t) é a integral de para sistemas causais. Então basta diferenciar

Passo 3

Para derivar ddt[f(t),u(t)] = f'(t),u(t) + f(0),de, usamos a regra do produto:
ddt[cos(omega0 t),u(t)] = (-omega0sin(omega0 t)),u(t) + 1cdotde
Aqui , então
  1. .
  2. .
    Logo,

Passo 4

Juntando tudo, a resposta ao impulso fica
h(t) = de

Resposta

boxedh(t) = de

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