(HSU, Schaum, Problema 2.54, letra a, p. 107) Considere um integrador cujos sinais de entrada x(t) e de saída y(t) se relacionam por y(t)=integral-infty^t x(tau) d tau. Encontre a resposta ao impulso h(t) desse sistema (integrador).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão tá falando de um “integrador” no domínio do tempo, ou seja, um sistema que recebe um sinal de entrada x(t) e devolve na saída
y(t) = integral-infty^t x(tau),dtau
O que a gente precisa encontrar é a resposta ao impulso desse sistema, isto é, o que sai na saída quando a entrada é .
O conteúdo aqui envolve LTI (sistemas lineares e invariantes no tempo), a função delta de Dirac e a função degrau unitário. Vamos usar a definição de resposta ao impulso e a propriedade de integração da delta.

Passo 2

Primeiro lembre do que é a resposta ao impulso, chamada h(t) = saída y(t) quando a entrada x(t)=de:
integral-infty^t de= 0 í
A função (impulso de Dirac) tem a propriedade chave
Isso é exatamente a definição da função degrau unitário .

Passo 3

Agora aplica a entrada y(t) = integral-infty^t x(tau),dtau = integral-infty^t de na fórmula do sistema:
y(t) = u(t)
Pela propriedade acima, isso vira

Resposta

h(t) = u(t) (função degrau unitário) çãá

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