Realize a convolução entre os sinais:
u(t) e e^a t u(t).

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular a convolução de dois sinais contínuos:
  • , o degrau unitário.
  • .
    Isso faz parte de Sinais e Sistemas, e a gente vai usar a definição de convolução em tempo contínuo e entender como o degrau “corta” a região de integração.

Passo 2

Definição de convolução em tempo contínuo:
y(t) = (x*h)(t) ;=; integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau
Também lembrar que vale 0 para e 1 para , então sempre que aparecer na multiplicação, ele limita onde a integral “funciona”.

Passo 3

Aplicando a definição com y(t)=integral-infty^inftyu(tau);e^a,(t-tau),u(t-tau),dtau e y(t)=integral0^t e^a,(t-tau),dtau, :
Mas exige e exige (ou seja, ).
Logo a integral vira
para . Para , vale , pois não há região de integração.

Passo 4

Agora é só resolver a integral:
y(t)=integral0^t e^a,t,e^-a,tau,dtau = e^a tintegral0^t e^-atau,dtau
Calcule o integral interno:
integral0^t e^-atau,dtau = l[,-tfrac1a,e^-ataur]0^t = -tfrac1al(e^-a t-1r) = tfrac1 - e^-a ta
Multiplicando por y(t) = e^a t,1 - e^-a ta = e^a t - 1a :

Resposta

y(t) = e^a t - 1a;u(t)

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