1. A Hudson Valley Bottling Company distribui um tipo de cerveja sem álcool em garrafas que indicam o conteúdo de 32 oz. O Buerau of Weights and Mesures seleciona aleatoriamente50 dessas garrafas, mede seu conteúdo e obtém uma média amostral 31,8 \mathrm{oz}, com desvio padrão de 0,75 \mathrm{oz}. Ao nível de 0,01 de significância, teste a afirmação do Instituto de que a Companhia está ludibriando os consumidores. Deve-se formalizar uma queixa?

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a média do conteúdo de cerveja em garrafas que deveriam conter \,32,oz. Temos uma amostra de tamanho n=50 com média amostral \bar{x}=31,8,oz e desvio‐padrão amostral s=0,75,oz. O objetivo é testar, ao nível de significância \alpha=0,01, se a empresa está entregando menos do que o indicado (ou seja, se \mu<32,oz).

Passo 2

Formalizamos as hipóteses:
H_0:\mu = 32\quad\text{vs.}\quad H_1:\mu < 32.
Aqui usamos um teste unilateral à esquerda porque queremos verificar se a média real é menor que o valor declarado.

Passo 3

Como o desvio‐padrão populacional é desconhecido e n=50 é razoavelmente grande, podemos usar o teste t com n-1=49 graus de liberdade. A estatística de teste é
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{31,8-32}{0,75/\sqrt{50}}.

Passo 4

Calculamos o valor crítico t_{\alpha,\,49} para \alpha=0,01 no teste unilateral à esquerda. Pelas tabelas ou software,
t_{0,01,\,49}\approx -2,405.
A região de rejeição de H_0 é
t < -2,405.

Passo 5

Agora calculamos o valor da estatística:
t = \frac{-0,2}{0,75/\sqrt{50}} = \frac{-0,2}{0,1061} \approx -1,886.

Passo 6

Comparamos t\approx -1,886 com t_{\text{crítico}}\approx -2,405í. Vemos que
-1,886 > -2,405,
logo não caímos na região de rejeição.

Resposta

Não há evidência estatística suficiente para concluir que a média seja inferior a 32,oz ao nível de 1\%. Portanto, não deve‐se formalizar uma queixa.

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