1. O consumidor de certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 20 \% das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele usou uma amostra de tamanho 50 , onde 27 \% das peças eram defeituosas. Mostre como o fabricante poderia refutar a acusação usando um nível de significância de 1 \%.

Passo 1

O enunciado é um teste de hipóteses para a proporção de peças defeituosas. Temos uma amostra de tamanho n=50 em que a proporção observada de defeituosas é \hat p=0,27. O consumidor alega que a proporção verdadeira p é maior do que 20\%. Vamos testar com nível de significância \alpha=0,01. As hipóteses são:
H_0: p = 0,20
H_1: p > 0,20

Passo 2

Antes de usar a aproximação normal, verificamos as condições:
n p_0 = 50 \times 0,20 = 10 \ge 5,
n(1-p_0) = 50 \times 0,80 = 40 \ge 5.
Portanto, podemos usar o teste-z para proporções. O erro‐padrão sob H_0 é
\text{SE} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0,20 \times 0,80}{50}} =\sqrt{\frac{0,16}{50}} =\sqrt{0,0032} \approx 0,0566.

Passo 3

O estatístico de teste é
z = \frac{\hat p - p_0}{\text{SE}} = \frac{0,27 - 0,20}{0,0566} \approx \frac{0,07}{0,0566} \approx 1,24.

Passo 4

Para \alpha=0,01 no teste unilateral à direita, o valor crítico é
z_{c} = z_{1-\alpha} = z_{0,99} \approx 2,33.
A região de rejeição de H_0 é z > 2,33.

Passo 5

Como o valor calculado z\approx1,24 não ultrapassa o crítico 2,33, não rejeitamos H_0. Ou seja, não há evidência suficiente para confirmar que a taxa verdadeira de defeitos excede 20\%.

Resposta

O fabricante pode refutar a acusação do consumidor: com \alpha=1\%, o teste z dá z\approx1,24<2,33, então não rejeitamos H_0 e concluímos que não há prova de que mais de 20% das unidades sejam defeituosas.

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