A hydrogen atom at rest in the laboratory emits the Lyman \alpha radiation. (a) Compute the recoil kinetic energy of the atom. (b) What fraction of the excitation energy of the n=2 state is carried by the recoiling atom? (Hint: Use conservation of momentum.)

Passo 1

O enunciado diz que um átomo de hidrogênio, inicialmente em repouso, emite um fóton correspondente à transição de n=2 para n=1 (raio Lyman \alpha). Precisamos usar conservação de momento para achar a energia cinética de recuo do átomo e depois comparar com a energia de excitação do nível n=2, que é E_{2\to1}=10,2\text{ eV}.

Passo 2

Pela conservação de impulso, o fóton leva momento \,p=\frac{E_\gamma}{c}, e o átomo fica com momento igual e oposto. Como o átomo tem massa M, a energia cinética de recuo é
K = \frac{p^2}{2M} = \frac{1}{2M}\,\biggl(\frac{E_\gamma}{c}\biggr)^2 = \frac{E_\gamma^2}{2Mc^2}.

Passo 3

O fóton Lyman \alpha tem energia
E_\gamma = 10,2\text{ eV} = 10{,}2\times1{,}602\times10^{-19}\,\text{J} \approx1{,}634\times10^{-18}\,\text{J},
e a massa do átomo de hidrogênio é M\approx1{,}673\times10^{-27}\,\text{kg}. Logo,
K = \frac{(1{,}634\times10^{-18})^2}{2\,(1{,}673\times10^{-27})\,(3,00\times10^8)^2}.

Passo 4

Calculando numericamente,
K \approx8{,}9\times10^{-27}\,\text{J} \quad\Longrightarrow\quad K \approx\frac{8{,}9\times10^{-27}}{1{,}602\times10^{-19}}\,\text{eV} \approx5{,}6\times10^{-8}\,\text{eV}.

Passo 5

A fração da energia de excitação que vai para recuo é
\frac{K}{E_{2\to1}} = \frac{5{,}6\times10^{-8}\,\text{eV}}{10{,}2\,\text{eV}} \approx5{,}5\times10^{-9}.

Resposta

(a) K\approx8{,}9\times10^{-27}\,\text{J} (ou cerca de 5{,}6\times10^{-8}\,\text{eV}).
(b) A fração é aproximadamente 5{,}5\times10^{-9}.

Exercícios relacionados