(a) Calculate the next two longest wavelengths in the K series (after the K_{\alpha} line) of molybdenum. ( b ) What is the wavelength of the shortest wavelength in this series?

Passo 1

O enunciado pede as próximas duas maiores comprimentos de onda da série K do molibdênio (após a linha K_{\alpha}) e, em (b), o menor comprimento de onda dessa série. O conteúdo usado aqui é o modelo de Bohr para os níveis de energia atômicos e a fórmula de Rydberg adaptada para raios- X, que diz que, na série K (transições para n_{1}=1), a frequência de emissão satisfaz
\frac{1}{\lambda} \;=\; R_\infty\,(Z - \sigma)^{2}\,\Bigl(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\Bigr),
sendo R_\infty=1{,}097\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}, Z=42 (molibdênio) e \sigma\approx1 (aproximação de Moseley para séries K).

Passo 2

Da equação acima, isolamos \lambda para uma transição de n\to1:
\lambda_{n\to1} =\frac{1}{R_\infty\,(Z-1)^{2}\,\bigl(1 - \tfrac{1}{n^{2}}\bigr)}.
Para as duas próximas maiores após n=2 (que é K_{\alpha}), tomamos n=3 (linha K_{\beta}) e n=4 (linha K_{\gamma}).

Passo 3

Calculamos (Z-1)^{2}=(42-1)^{2}=41^{2}=1681.
Para n=3:
\lambda_{3\to1} =\frac{1}{R_\infty\,(41)^{2}\,\bigl(1 - \tfrac{1}{3^{2}}\bigr)} =\frac{9}{8\,R_\infty\,(41)^{2}}.
Numericamente,
\lambda_{K_{\beta}} =\frac{9}{8\times1{,}097\times10^{7}\times1681} \approx6{,}10\times10^{-11}\,\mathrm{m} =0{,}0610\,\mathrm{nm}.
Para n=4:
\lambda_{4\to1} =\frac{1}{R_\infty\,(41)^{2}\,\bigl(1 - \tfrac{1}{4^{2}}\bigr)} =\frac{16}{15\,R_\infty\,(41)^{2}}.
Numericamente,
\lambda_{K_{\gamma}} =\frac{16}{15\times1{,}097\times10^{7}\times1681} \approx5{,}79\times10^{-11}\,\mathrm{m} =0{,}0579\,\mathrm{nm}.

Passo 4

O menor comprimento de onda da série ( n\to\infty) é o limite de Rydberg:
\lambda_{\min} =\frac{1}{R_\infty\,(Z-1)^{2}} =\frac{1}{1{,}097\times10^{7}\times1681} \approx5{,}42\times10^{-11}\,\mathrm{m} =0{,}0542\,\mathrm{nm}.

Resposta

(a) As duas próximas maiores após K_{\alpha} são
\lambda_{K_{\beta}}\approx0{,}0610\,\mathrm{nm}
e
\lambda_{K_{\gamma}}\approx0{,}0579\,\mathrm{nm}.
(b) O menor comprimento de onda (limite da série) é
\lambda_{\min}\approx0{,}0542\,\mathrm{nm}.

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