Show that Equation 4-19 for the radius of the first Bohr orbit and Equation 4-20 for the magnitude of the lowest energy for the hydrogen atom can be written as
where
is the Compton wavelength of the electron and
is the fine-structure constant. Use these expressions to check the numerical values of the constants
and
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as fórmulas clássicas da órbita de Bohr,
e da energia do estado fundamental,
podem ser reescritas em termos do comprimento de Compton
e da constante de estrutura fina
. Em seguida, usar essas formas para calcular numericamente
,
e
.
Passo 2
Partimos de
Como
, temos
E pela definição de
,
Logo
Passo 3
Usando
e
, obtemos
Multiplicando numerador e denominador por
dá também
Passo 4
O valor do estado fundamental é
A magnitude fica
Passo 5
Vamos aos valores numéricos:
1.
2.
3. Então
1.
2.
3. Então
Logo
4. E