I) 15 lados se chama pentadecágono; m) 20 lados se chama icoságono.

2.2 Polígono Regular

É o polígono que possui todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais.

Exemplo:

2.2.1 Número de diagonais de um polígono

d=\frac{n(n-3)}{2} onde
d = número de diagonais do polígono;
\mathrm{n}= número de lados do polígono.
Exemplos: 1.Calcule o número de diagonais de um dodecágono.
Resolução:

Passo 1

O enunciado pede: calcular o número de diagonais de um dodecágono.
Informações dadas e relevantes:
  • A fórmula fornecida é d=\frac{n(n-3)}{2}, onde \,d é o número de diagonais e \,n é o número de lados do polígono.
  • Para um dodecágono temos \,n=12.
    Não vou resolver ainda aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

O que é uma diagonal e por que a fórmula faz sentido (explicação passo a passo):
  • Diagonal: segmento que liga dois vértices não adjacentes.
  • Fixando um vértice, quantos segmentos que saem dele são diagonais? Existem n-1 outros vértices no polígono; desses, dois são adjacentes (formam arestas, não diagonais) e um é o próprio vértice, então restam n-3 vértices não adjacentes. Logo, a partir de um vértice saem n-3 diagonais.
  • Se contarmos isso para todos os n vértices, contamos cada diagonal duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Por isso multiplicamos por n e depois dividimos por 2. Assim chegamos à fórmula
d=\frac{n(n-3)}{2}.

Passo 3

Derivação alternativa (ajuda a entender melhor):
  • O número total de segmentos que ligam pares de vértices é \binom{n}{2} (escolher 2 vértices dentre n).
  • Desses segmentos, n são os lados do polígono. Então as diagonais são
d=\binom{n}{2}-n.
  • Como \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}, temos
d=\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-1)-2n}{2}=\frac{n(n-3)}{2},
confirmando a mesma fórmula.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao dodecágono: substituir \,n=12 em \,d=\dfrac{n(n-3)}{2}. Escrevo a substituição:
d=\frac{12(12-3)}{2}.

Passo 5

Calcule passo a passo as operações aritméticas:
  • Primeiro o parêntese: 12-3=9. Então
d=\frac{12\cdot 9}{2}.
  • Agora a multiplicação: 12\cdot 9. Faço por decomposição: 12\cdot 9=(10\cdot 9)+(2\cdot 9)=90+18=108. Então
d=\frac{108}{2}.
  • Finalmente a divisão: \dfrac{108}{2}=54.

Passo 6

Verificação rápida com casos simples (sanity check) para fixar a ideia:
  • Se n=3 (triângulo), a fórmula dá d=\dfrac{3(0)}{2}=0 — correto, triângulo não tem diagonais.
  • Se n=4 (quadrilátero), d=\dfrac{4(1)}{2}=2 — correto.
    Esses pequenos testes ajudam a confiar no resultado.

Passo 7

Dica para a prova (memorização rápida):
  • Lembre-se da ideia: de cada vértice saem n-3 diagonais; somando para todos os vértices dá n(n-3) mas cada diagonal foi contada duas vezes → dividir por 2. Isso é mais fácil de lembrar que decorar números. Você tira o resultado direto e faz a conta rápida como fizemos.

Resposta

54

Exercícios relacionados