I. (a) Encontre uma equação da esfera que passa pelo ponto
e tem centro
.
(b) Encontre a curva na qual esta esfera intercepta o plano
.
(c) Encontre o centro e o raio da esfera
(b) Encontre a curva na qual esta esfera intercepta o plano
(c) Encontre o centro e o raio da esfera
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
- (a) Encontrar uma equação de uma esfera que passa por
e tem centro . - (b) Encontrar a curva de interseção dessa esfera com o plano
(ou seja, com ). - (c) Determinar o centro e o raio da esfera dada por
Informações dadas que usarei: o ponto
e o centro
para a parte (a); o plano
é o conjunto de pontos com
; e a equação polinomial da esfera na parte (c).
Passo 2
Conceito e fórmula usados na parte (a): a forma padrão (centro-raio) de uma esfera com centro
e raio
é
Aqui
são as coordenadas genéricas de um ponto da esfera,
são coordenadas do centro e
é o raio (distância do centro a qualquer ponto na superfície). Vou usar essa fórmula com
,
,
e impor que o ponto
satisfaça a equação para determinar
.
Passo 3
Cálculo do raio ao quadrado para (a). Substituindo o ponto na fórmula:
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto a equação da esfera (forma centro-raio) é
Se quiser a forma expandida padrão, expandindo e somando constantes obtém-se
Passo 4
Parte (b): interseção com o plano
. O plano
é dado por
. Para obter a curva de interseção, substitui-se
na equação da esfera encontrada em (a). Substituição:
Isso é
Isolando os quadrados:
Interpretação: no plano
essa é a equação de um círculo de centro
no sistema de coordenadas do plano; em coordenadas 3D o centro do círculo é
e o raio é
Observação conceitual rápida: a interseção de uma esfera com um plano é, quando existe e não é tangente, um círculo cujo centro é a projeção ortogonal do centro da esfera sobre o plano; aqui a projeção de
sobre
é
.
Passo 5
Parte (c): encontrar centro e raio da esfera dada por
Método — completar quadrados: agrupar termos por variável e transformar cada grupo em um quadrado perfeito mais uma constante. Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo tudo na equação original:
Somando as constantes
. Assim
ou seja
Daí o centro é
e o raio é
.
Resposta
(a)
(b) Interseção:
e
— círculo de centro
e raio
(c) Centro
e raio