I. (a) Encontre uma equação da esfera que passa pelo ponto (6,-2,3) e tem centro (-1,2,1).
(b) Encontre a curva na qual esta esfera intercepta o plano y z.
(c) Encontre o centro e o raio da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8 x+2 y+6 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede três coisas separadas:
  • (a) Encontrar uma equação de uma esfera que passa por (6,-2,3) e tem centro (-1,2,1).
  • (b) Encontrar a curva de interseção dessa esfera com o plano yz (ou seja, com x=0).
  • (c) Determinar o centro e o raio da esfera dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+2y+6z+1=0.
Informações dadas que usarei: o ponto (6,-2,3) e o centro (-1,2,1) para a parte (a); o plano yz é o conjunto de pontos com x=0; e a equação polinomial da esfera na parte (c).

Passo 2

Conceito e fórmula usados na parte (a): a forma padrão (centro-raio) de uma esfera com centro (x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2.
Aqui x,y,z são as coordenadas genéricas de um ponto da esfera, x_0,y_0,z_0 são coordenadas do centro e r é o raio (distância do centro a qualquer ponto na superfície). Vou usar essa fórmula com x_0=-1, y_0=2, z_0=1 e impor que o ponto (6,-2,3) satisfaça a equação para determinar r^2.

Passo 3

Cálculo do raio ao quadrado para (a). Substituindo o ponto na fórmula:
(6-(-1))^2+(-2-2)^2+(3-1)^2 = r^2.
Calcule cada termo:
6-(-1)=7\quad\Rightarrow\quad 7^2=49,
-2-2=-4\quad\Rightarrow\quad (-4)^2=16,
3-1=2\quad\Rightarrow\quad 2^2=4.
Somando:
r^2=49+16+4=69.
Portanto a equação da esfera (forma centro-raio) é
(x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=69.
Se quiser a forma expandida padrão, expandindo e somando constantes obtém-se
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y-2z-63=0.

Passo 4

Parte (b): interseção com o plano yz. O plano yz é dado por x=0. Para obter a curva de interseção, substitui-se x=0 na equação da esfera encontrada em (a). Substituição:
(0+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=69.
Isso é
1+(y-2)^2+(z-1)^2=69.
Isolando os quadrados:
(y-2)^2+(z-1)^2=69-1=68.
Interpretação: no plano x=0 essa é a equação de um círculo de centro (y,z)=(2,1) no sistema de coordenadas do plano; em coordenadas 3D o centro do círculo é (0,2,1) e o raio é
r_{\text{interseção}}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.çã
Observação conceitual rápida: a interseção de uma esfera com um plano é, quando existe e não é tangente, um círculo cujo centro é a projeção ortogonal do centro da esfera sobre o plano; aqui a projeção de (-1,2,1) sobre x=0 é (0,2,1).

Passo 5

Parte (c): encontrar centro e raio da esfera dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+2y+6z+1=0.
Método — completar quadrados: agrupar termos por variável e transformar cada grupo em um quadrado perfeito mais uma constante. Para x:
x^{2}-8x=(x-4)^2-16.
Para y:
y^{2}+2y=(y+1)^2-1.
Para z:
z^{2}+6z=(z+3)^2-9.
Substituindo tudo na equação original:
(x-4)^2-16+(y+1)^2-1+(z+3)^2-9+1=0.
Somando as constantes -16-1-9+1=-25. Assim
(x-4)^2+(y+1)^2+(z+3)^2-25=0,
ou seja
(x-4)^2+(y+1)^2+(z+3)^2=25.
Daí o centro é (4,-1,-3) e o raio é \sqrt{25}=5.

Resposta

(a) (x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=69
(b) Interseção: x=0 e (y-2)^2+(z-1)^2=68 — círculo de centro (0,2,1) e raio 2\sqrt{17}
(c) Centro (4,-1,-3) e raio 5

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