i) \left|\left|x^{2}-1\right|-|x-2|\right| \geq 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação real
\left|\left|x^{2}-1\right|-|x-2|\right| \geq 1.
Dados relevantes que temos no enunciado:
A:=\left|x^{2}-1\right|,\qquad B:=|x-2|.
Também note que as expressões que aparecem dentro dos módulos mudam de sinal em x=\pm 1 (para x^{2}-1) e em x=2 (para x-2). Essas três abscissas serão usadas para dividir a reta em intervalos onde as fórmulas sem módulo são simples.

Passo 2

Uma dica importante sobre módulos: para quaisquer números não negativos A e B vale
|A-B|\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad A-B\ge 1 \\ \text{ ou }\\ B-A\ge 1.
Aqui podemos tomar A=\left|x^{2}-1\right| e B=|x-2|. Assim resolvemos duas desigualdades equivalentes:
\text{(I)}\quad A\ge B+1 \qquad\text{ou}\qquad \text{(II)}\quad B\ge A+1.
Vou resolver cada uma em cada intervalo determinado por x=-1,1,2.

Passo 3

Divido a reta real em quatro intervalos naturais para tratar os sinais:
(-\infty,-1],\quad [-1,1],\quad [1,2],\quad [2,\infty).
Em cada intervalo escrevo explicitamente A e B sem módulos:
  • Se x\le -1: x^{2}-1\ge0 então A=x^{2}-1. Também x<2 então B=2-x.
  • Se -1\le x\le1: x^{2}-1\le0 então A=1-x^{2}. E B=2-x.
  • Se 1\le x\le2: x^{2}-1\ge0 então A=x^{2}-1. E B=2-x.
  • Se x\ge2: A=x^{2}-1 e B=x-2.
Agora aplico (I) e (II) em cada intervalo.

Passo 4

Resolvo a condição (I): A\ge B+1.
Intervalo x\le -1:
Aqui A=x^{2}-1 e B=2-x. A desigualdade fica
x^{2}-1 \ge (2-x)+1 = 3-x.
Passando tudo para um lado:
x^{2}+x-4 \ge 0.
É uma quadrática com discriminante \Delta = 1+16=17. As raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}.
Uma quadrática com coeficiente líder positivo é \ge0 fora do intervalo entre as raízes, então a solução geral desta desigualdade é
x\le \frac{-1-\sqrt{17}}{2}\quad\text{ou}\quad x\ge\frac{-1+\sqrt{17}}{2}.
Como estamos no sub-intervalo x\le -1, a interseção dá
x\le \frac{-1-\sqrt{17}}{2}.

Passo 5

Ainda em (I), intervalo -1\le x\le1:
Aqui A=1-x^{2}, B=2-x. A desigualdade fica
1-x^{2} \ge 3-x \quad\Longleftrightarrow\quad -x^{2}+x-2\ge0.
Multiplicando por -1 (inverte o sinal):
x^{2}-x+2\le0.
O discriminante é \Delta=1-8=-7<0, logo essa quadrática é sempre positiva e não há solução. Portanto nada neste intervalo atende (I).

Passo 6

Ainda em (I), intervalo 1\le x\le2:
Aqui A=x^{2}-1, B=2-x. Voltamos à desigualdade
x^{2}-1 \ge 3-x \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+x-4\ge0.
Como já vimos, as raízes são \dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}. No intervalo [1,2] a condição é satisfeita para
x\ge \frac{-1+\sqrt{17}}{2}.
Assim a interseção com [1,2]
x\in\left[\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\,2\right].
Intervalo x\ge2:
Aqui A=x^{2}-1, B=x-2. A desigualdade fica
x^{2}-1 \ge (x-2)+1 = x-1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x\ge0.
Isto é x(x-1)\ge0, que é verdade para x\le0 ou x\ge1. No subintervalo x\ge2 isso é sempre verdadeiro. Portanto todo x\ge2 satisfaz (I).

Passo 7

Concluindo (I) de maneira compacta:
As soluções de (I) são
\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right]\\ \cup\\ \left[\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\infty\right).
(Observe que essas partes incluem os pedaços que achámos em cada intervalo e que se juntam sem buracos para x\ge\frac{-1+\sqrt{17}}{2}.)

Passo 8

Agora resolvo (II): B\ge A+1.
Intervalo x\le -1:
Aqui B=2-x, A=x^{2}-1. Temos
2-x \ge x^{2}-1+1 = x^{2}.
Ou seja
x^{2}+x-2 \le 0.
O discriminante é \Delta=1+8=9. As raízes são x=-2 e x=1. A quadrática é \le0 entre as raízes, logo a solução é -2\le x\le1. Interceptando com x\le -1
x\in[-2,-1].

Passo 9

Intervalo -1\le x\le1:
Aqui B=2-x, A=1-x^{2}. A desigualdade é
2-x \ge 1-x^{2}+1 = 2-x^{2},
ou seja
-x \ge -x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\le x^{2}.
Isto é x^{2}-x\ge0 ou x(x-1)\ge0, solução x\le0 ou x\ge1. Interseção com [-1,1]
x\in[-1,0]\\ \cup\\ \{1\}.

Passo 10

Intervalo 1\le x\le2:
Aqui B=2-x, A=x^{2}-1. A desigualdade é
2-x \ge x^{2}-1+1 = x^{2},
ou seja
x^{2}+x-2\le0,
cuja solução é -2\le x\le1. Interseção com [1,2] reduz-se a x=1. Portanto apenas x=1 neste pedaço.
Intervalo x\ge2:
Aqui B=x-2, A=x^{2}-1. A desigualdade fica
x-2 \ge x^{2}-1+1 = x^{2},
ou seja
x^{2}-x+2\le0,
mas o discriminante é \Delta=1-8=-7<0, assim não há solução para x\ge2.

Passo 11

Concluindo (II), unindo os pedaços:
x\in[-2,0]\\ \cup\\ \{1\}.
Agora faço a união das soluções de (I) e (II) porque a condição original é a disjunção delas.
União total:
\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right]\\ \cup\\ [-2,0]\\ \cup\\ \{1\}\\ \cup\\ \left[\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\infty\right).
Para dar uma noção numérica, as raízes valem aproximadamente \dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\approx -2{,}5616 e \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\approx 1{,}5616. Note que há pequenos intervalos em que a desigualdade não vale, por exemplo (-2{,}5616,-2), (0,1) e (1,1{,}5616) não pertencem à solução — isso é coerente com testes numéricos rápidos (por exemplo x=-2{,}3, x=0{,}5 e x=1{,}2 não satisfazem).

Resposta

\displaystyle \left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right]\\ \cup\\ [-2,0]\\ \cup\\ \{1\}\\ \cup\\ \left[\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\infty\right)

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