d) \left|6-x-x^{2}\right| \geq 0

Passo 1

O que o enunciado dá: a expressão |6-x-x^{2}| e a desigualdade |6-x-x^{2}|\ge 0.\n
O que ele pede: determinar para quais valores de x a desigualdade é verdadeira (ou seja, resolver a desigualdade).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida sobre valor absoluto): para qualquer número real y\) vale \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Dessa definição segue imediatamente a propriedade fundamental:
\text{para todo } y\in\mathbb{R},\qquad |y|\ge 0,
porque ou y\ge 0\] e então \(|y|=y\ge0, ou y<0 e então |y|=-y>0. Outra forma de ver isso é que |y|=\sqrt{y^{2}}, e raiz quadrada é sempre não negativa.]

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, tome y=6-x-x^{2}. Como y é um número real qualquer para qualquer x\in\mathbb{R}, temos
|6-x-x^{2}|\ge 0
para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, a desigualdade é verdadeira para qualquer valor real de x. Isso já resolve a desigualdade principal: é válida para todos os números reais.

Passo 4

Como extra didático, é útil ver quando ocorre igualdade (quando o valor absoluto é exatamente zero). Sabendo que |y|=0 se, e somente se, y=0, resolvemos
6-x-x^{2}=0.
Reescrevendo em forma padrão:
x^{2}+x-6=0.
Fatorando (procure dois números cujo produto é -6 e soma é 1; são 3 e -2):
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).
Portanto as raízes são x=-3 e x=2. Conclusão: |6-x-x^{2}|=0 exatamente para x=-3 e x=2; fora desses pontos o valor absoluto é positivo, mas sempre \ge 0.

Passo 5

Dica prática para prova: qualquer desigualdade do tipo |\text{expressão}|\ge 0ã é imediatamente verdadeira para todo x. Se a pergunta for |\text{expressão}|>0ã aí sim você precisa ver onde a expressão interna é diferente de zero; e se for |\text{expressão}|\le 0ã isso só acontece onde a expressão interna é exatamente zero.

Resposta

\mathbb{R}

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