- Se
é a matriz identidade de ordem
qual é o valor do determinante da matriz
?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o valor do determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade de ordem
. Informações dadas:
-
é a matriz identidade . - A matriz que nos interessa é
, ou seja, cada entrada da diagonal principal de é multiplicada por .
O que se pede: calcular.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a matriz identidade
Isto é,
s na diagonal e
s fora da diagonal. Exemplo pequeno para intuir: para
,
Passo 3
Calma, vamos fazer um exemplo concreto para ver o padrão. Para
:
Para
:
Esses exemplos sugerem que o determinante é
. Agora vamos justificar isso de forma geral.]
Passo 4
Propriedade fundamental do determinante que vamos usar: se se multiplica uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada por um escalar
, então o determinante da nova matriz é
vezes o determinante da matriz original. Em outras palavras, multiplicar uma única linha por
multiplica o determinante por
.
Explicando de maneira simples: o determinante é multilinear nas linhas (cada linha afeta linearmente o valor), então um fator multiplicativo em uma linha sai multiplicando o determinante.
Passo 5
Aplicando a propriedade ao caso de multiplicar toda a matriz por
: a matriz
é obtida multiplicando cada uma das
linhas de
por
. Como multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
, ao multiplicar todas as
linhas por
o determinante fica multiplicado por
repetidas
vezes, isto é, por
. Formalmente,
Passo 6
Falta usar que o determinante da matriz identidade é
. Justificativa curta: a matriz identidade representa a transformação linear que não altera vetores, então seu determinante (fator de escala do volume) é
. Mais diretamente, computando o determinante de uma matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal; para
a diagonal é toda de
s, logo
Passo 7
Juntando os resultados dos passos anteriores:
Como alternativa rápida (apenas para intuição extra): os autovalores de
são todos
(repetido
vezes), então os autovalores de
são todos
, e o determinante é o produto dos autovalores, dando
.