1. Se I_{n} é a matriz identidade de ordem n qual é o valor do determinante da matriz 2 I_{n} ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o valor do determinante da matriz 2 I_{n}, onde I_{n} é a matriz identidade de ordem n. Informações dadas:
  • I_{n} é a matriz identidade n\times n.
  • A matriz que nos interessa é 2 I_{n}, ou seja, cada entrada da diagonal principal de I_{n} é multiplicada por 2.
    O que se pede: calcular \det(2 I_{n}).

Passo 2

Vamos lembrar o que é a matriz identidade I_{n}\). A matriz \(I_{n}\) tem: \[(I_{n})_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\\\ 0, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Isto é, I_{n}\] tem \(1s na diagonal e 0s fora da diagonal. Exemplo pequeno para intuir: para n=2,
I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calma, vamos fazer um exemplo concreto para ver o padrão. Para n=1:
2I_{1}=(2),\qquad \det(2I_{1})=2.
Para n=2:
2I_{2}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(2I_{2})=2\cdot2-0\cdot0=4.
Esses exemplos sugerem que o determinante é 2^{n}. Agora vamos justificar isso de forma geral.]

Passo 4

Propriedade fundamental do determinante que vamos usar: se se multiplica uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada por um escalar c, então o determinante da nova matriz é c vezes o determinante da matriz original. Em outras palavras, multiplicar uma única linha por c multiplica o determinante por c.
Explicando de maneira simples: o determinante é multilinear nas linhas (cada linha afeta linearmente o valor), então um fator multiplicativo em uma linha sai multiplicando o determinante.

Passo 5

Aplicando a propriedade ao caso de multiplicar toda a matriz por 2: a matriz 2I_{n} é obtida multiplicando cada uma das n linhas de I_{n} por 2. Como multiplicar uma linha por 2 multiplica o determinante por 2, ao multiplicar todas as n linhas por 2 o determinante fica multiplicado por 2 repetidas n vezes, isto é, por 2^{n}. Formalmente,
\det(2I_{n}) = 2^{n}\det(I_{n}).

Passo 6

Falta usar que o determinante da matriz identidade é 1. Justificativa curta: a matriz identidade representa a transformação linear que não altera vetores, então seu determinante (fator de escala do volume) é 1. Mais diretamente, computando o determinante de uma matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal; para I_{n} a diagonal é toda de 1s, logo
\det(I_{n})=1\cdot1\cdots1=1.

Passo 7

Juntando os resultados dos passos anteriores:
\det(2I_{n}) = 2^{n}\det(I_{n}) = 2^{n}\cdot1 = 2^{n}.
Como alternativa rápida (apenas para intuição extra): os autovalores de I_{n} são todos 1 (repetido n vezes), então os autovalores de 2I_{n} são todos 2, e o determinante é o produto dos autovalores, dando 2^{n}.

Resposta

\;2^{n}

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