Encontre o valor dos determinantes dados a seguir
\left|\begin{array}{ccc}2 & 5 & 6 \\\\ -1 & 0 & -3 \\\\ 3 & -1 & 9\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz 3\times3 abaixo. As informações dadas são exatamente os elementos da matriz:
A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 6\\[4pt] -1 & 0 & -3\\[4pt] 3 & -1 & 9 \end{pmatrix}.
A tarefa é calcular \det(A)=\left|\begin{array}{ccc}2 & 5 & 6 \\\\ -1 & 0 & -3 \\\\ 3 & -1 & 9\end{array}\right|.]

Passo 2

Vou usar a regra de Sarrus, que é um jeito prático e direto de calcular determinantes de matrizes 3\times3. A ideia é somar os produtos das três diagonais que descem para a direita e subtrair os produtos das três diagonais que sobem para a direita.
Se escrevemos a matriz genérica
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
a regra de Sarrus dá
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{31}a_{22}a_{13} + a_{32}a_{23}a_{11} + a_{33}a_{21}a_{12}\bigr).
Aqui cada termo é um produto de três entradas, uma em cada linha e coluna, organizadas nas diagonais que mencionei. Vou aplicar essa fórmula substituindo pelos valores concretos da matriz A.]

Passo 3

Calcular os três produtos das diagonais que descem para a direita:
\begin{aligned} a_{11}a_{22}a_{33} &= 2\cdot 0\cdot 9 = 0,\\[4pt] a_{12}a_{23}a_{31} &= 5\cdot(-3)\cdot 3 = 5\cdot(-9) = -45,\\[4pt] a_{13}a_{21}a_{32} &= 6\cdot(-1)\cdot(-1) = 6\cdot 1 = 6. \end{aligned}
Somando esses três resultados:
\text{Soma\_desc} = 0 + (-45) + 6 = -39.]

Passo 4

Calcular os três produtos das diagonais que sobem para a direita (os que serão subtraídos):
\begin{aligned} a_{31}a_{22}a_{13} &= 3\cdot 0\cdot 6 = 0,\\[4pt] a_{32}a_{23}a_{11} &= (-1)\cdot(-3)\cdot 2 = 3\cdot 2 = 6,\\[4pt] a_{33}a_{21}a_{12} &= 9\cdot(-1)\cdot 5 = 9\cdot(-5) = -45. \end{aligned}
Somando esses três resultados:
\text{Soma\_subir} = 0 + 6 + (-45) = -39.]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Sarrus:
\det(A)=\text{Soma\_desc} - \text{Soma\_subir} = (-39) - (-39) = 0.
Portanto o determinante é zero. Isso significa, entre outras coisas, que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes e a matriz não é invertível.

Passo 6

Para consolidar a intuição, verifico uma dependência simples entre as colunas: as colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}6\\\ -3\\\ 9\end{pmatrix}.
Note que c_3 = 3\,c_1 porque
3\cdot c_1 = 3\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\\ -3\\\ 9\end{pmatrix}=c_3.
Como há uma coluna que é múltiplo de outra, as colunas são linearmente dependentes, o que confirma que \det(A)=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados