se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| vale -3 , calcule : \left|\begin{array}{lll}a & d & 2 \\\ b & e & 2 \\\ c & f & 2\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá o determinante
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = -3.
Pede-se calcular o determinante
\left|\begin{array}{ccc} a & d & 2 \\\ b & e & 2 \\\ c & f & 2 \end{array}\right|.
Vou chamar a primeira matriz de A, isto é,
A=\begin{pmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
e a matriz cujo determinante queremos de B, isto é,
B=\begin{pmatrix} a & d & 2 \\\ b & e & 2 \\\ c & f & 2 \end{pmatrix}.
Passo 2
Relembrando duas propriedades fundamentais de determinantes que vou usar:
Determinante é invariante por transposição: para qualquer matriz quadrada M vale \det(M^{T})=\det(M). Aqui M^{T} é a matriz transposta (linhas viram colunas).
Se uma coluna (ou linha) de uma matriz é multiplicada por um escalar k, então o determinante é multiplicado por k. Em termos de colunas: se C_j é a coluna j e substituir por kC_j, o novo determinante é k vezes o original. Consequentemente, pode-se fatorar constantes de uma coluna.
Vou usar essas propriedades de forma explícita e passo a passo.
Passo 3
Escrevendo a transposta de A:
A^{T}=\begin{pmatrix} a & d & 1 \\\ b & e & 1 \\\ c & f & 1 \end{pmatrix}.
Observe que B é exatamente a matriz A^{T} com a terceira coluna multiplicada por 2. Mais precisamente, a terceira coluna de A^{T} é \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, enquanto a terceira coluna de B é \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}. As duas primeiras colunas de B são as duas primeiras colunas de A^{T}.
Passo 4
Usando a linearidade em colunas (fatoração do escalar na terceira coluna), podemos escrever o determinante de B como
\left|\begin{array}{ccc} a & d & 2 \\\ b & e & 2 \\\ c & f & 2 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a & d & 2\cdot 1 \\\ b & e & 2\cdot 1 \\\ c & f & 2\cdot 1 \end{array}\right| =2\cdot \left|\begin{array}{ccc} a & d & 1 \\\ b & e & 1 \\\ c & f & 1 \end{array}\right|.
Ou seja,
\det(B)=2\det(A^{T}).
Passo 5
Agora aplico a propriedade da transposta: \det(A^{T})=\det(A). Pelo enunciado sabemos que
\det(A)= \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = -3.