I) \operatorname{sen}(x+i y)=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y
II) \cos (x+i y)=\cos x \operatorname{cosh} y-i \operatorname{sen} x \operatorname{senh} y
Prove, usando as condições de Cauchy - Rieman, que sendo f(z)=w=u(x, y)+i v(x, y), temos \frac{d w}{d z}=\frac{\partial u(x, y)}{\partial x}+i \frac{\partial v(x, y)}{\partial x}.

Passo 1

O enunciado nos lembra que, para uma função complexa
f(z)=w=u(x,y)+i\,v(x,y),
ser diferenciável no sentido complexo (holomorfa), ela deve satisfazer as condições de Cauchy–Riemann:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Queremos provar que, sob essas condições, o derivado complexo de f é dado por
\frac{dw}{dz} =\frac{\partial u}{\partial x}+i\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 2

Começamos pelo quociente de diferença na direção real, ou seja, tomamos um incremento real h\to0. Então
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h} +i\,\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}.
Fazendo h\to0, cada uma dessas frações tende às derivadas parciais em x:
\lim_{h\to0}\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h} =\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \lim_{h\to0}\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h} =\frac{\partial v}{\partial x}.
Logo, pela direção real,
\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\frac{\partial u}{\partial x} +i\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 3

Agora tomamos o incremento puramente imaginário h=i\,k com k\to0. Então
\frac{f\bigl(z+i\,k\bigr)-f(z)}{i\,k} =\frac{u(x,y+k)-u(x,y)}{i\,k} +i\,\frac{v(x,y+k)-v(x,y)}{i\,k}.
Reescrevendo cada termo:
\frac{u(x,y+k)-u(x,y)}{i\,k} =\frac{1}{i}\,\frac{u(x,y+k)-u(x,y)}{k} =-i\,\frac{\partial u}{\partial y},
i\,\frac{v(x,y+k)-v(x,y)}{i\,k} =\frac{v(x,y+k)-v(x,y)}{k} =\frac{\partial v}{\partial y}.
Portanto, na direção imaginária,
\lim_{k\to0}\frac{f(z+i\,k)-f(z)}{i\,k} =-i\,\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial y}.

Passo 4

Usamos as condições de Cauchy–Riemann para igualar o resultado da direção imaginária ao da direção real. Das condições temos
\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo em
-i\,\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial y},
obtemos
-i\Bigl(-\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr) +\frac{\partial u}{\partial x} =i\,\frac{\partial v}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial u}{\partial x} +i\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Isso mostra que o quociente de diferença tende ao mesmo valor, seja qual for a direção de h.

Passo 5

Como o limite do quociente de diferença
\frac{f(z+h)-f(z)}{h}
é independente da direção de h e igual a \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+i\,\frac{\partial v}{\partial x},
concluímos que f é diferenciável no sentido complexo e
\frac{dw}{dz} =\frac{\partial u}{\partial x} +i\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Resposta

\frac{dw}{dz} =\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} +i\,\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}.

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