I)
II)
Prove, usando as condições de Cauchy - Rieman, que sendo
, temos
.
II)
Prove, usando as condições de Cauchy - Rieman, que sendo
Passo 1
O enunciado nos lembra que, para uma função complexa
ser diferenciável no sentido complexo (holomorfa), ela deve satisfazer as condições de Cauchy–Riemann:
Queremos provar que, sob essas condições, o derivado complexo de
é dado por
Passo 2
Começamos pelo quociente de diferença na direção real, ou seja, tomamos um incremento real
. Então
Fazendo
, cada uma dessas frações tende às derivadas parciais em
:
Logo, pela direção real,
Passo 3
Agora tomamos o incremento puramente imaginário
com
. Então
Reescrevendo cada termo:
Portanto, na direção imaginária,
Passo 4
Usamos as condições de Cauchy–Riemann para igualar o resultado da direção imaginária ao da direção real. Das condições temos
Substituindo em
obtemos
Isso mostra que o quociente de diferença tende ao mesmo valor, seja qual for a direção de
.
Passo 5
Como o limite do quociente de diferença
é independente da direção de
e igual a
concluímos que é diferenciável no sentido complexo e
concluímos que