\operatorname{sen}(x+i y)=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y

Passo 1

O que queremos é provar que
\sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y \;+\;i\cos x\operatorname{sinh} y.
Para isso vamos usar a definição de seno para z\in\mathbb{C}:
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},
e as identidades
\operatorname{cosh} y=\frac{e^y+e^{-y}}{2}, \qquad \operatorname{sinh} y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}.

Passo 2

Aplique z=x+iy na definição de seno:
\sin(x+iy) =\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i} =\frac{e^{ix-y}-e^{-ix+y}}{2i}.

Passo 3

Expanda as exponenciais usando e^{ix}=\cos x+i\sin x e e^{-ix}=\cos x-i\sin x:
e^{ix-y}=e^{-y}(\cos x+i\sin x), \qquad e^{-ix+y}=e^{y}(\cos x-i\sin x).
Logo o numerador vira
e^{ix-y}-e^{-ix+y} =e^{-y}\cos x + i\,e^{-y}\sin x \;-\;e^{y}\cos x + i\,e^{y}\sin x =(e^{-y}-e^{y})\cos x + i\,(e^{-y}+e^{y})\sin x.

Passo 4

Dividindo por 2i e usando as definições de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}:
\frac{(e^{-y}-e^{y})\cos x}{2i} =-\frac{e^{y}-e^{-y}}{2i}\cos x =i\,\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\cos x =i\,\operatorname{sinh} y\cos x,
\frac{i\,(e^{-y}+e^{y})\sin x}{2i} =\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}\sin x =\operatorname{cosh} y\sin x.
Somando essas partes obtemos
\sin(x+iy) =\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.

Resposta

\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.

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