(a) Mostre que a solução do oscilador harmônico amortecido sujeito a uma força externa variável
onde
e
são constantes reais, e ambas as variáveis
e
são reais, é dada por
(b) Qual a expressão real de
?
Passo 1
O enunciado trata do oscilador harmônico amortecido, cuja equação é
e pede a solução de regime forçado numa forma complexificada. Vamos usar o método de números complexos, tomando uma solução particular na forma
, e depois extrair a parte real.
Passo 2
Adotamos o ansatz complexo
onde
é um número complexo a determinar. Assim
Substituindo na equação diferencial complexificada
vem
Passo 3
Cancelando o fator
, obtemos
logo
Portanto a solução particular complexa é
A solução real procurada é
, o que responde a parte (a).
Passo 4
Para escrever
em forma real e explícita, escrevemos o denominador em módulo e fase. Definimos
de modo que
Então
A parte real é