(a) Mostre que a solução do oscilador harmônico amortecido sujeito a uma força externa variável
\ddot{x}+2 \alpha \dot{x}+\omega_{0} x=F \cos (\omega t-\varphi)
onde \alpha, \omega_{0}, F, \omega e \varphi são constantes reais, e ambas as variáveis x e t são reais, é dada por
x(t)=\operatorname{Re}\left\{\frac{F e^{-i(\omega t-\varphi)}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)-i 2 \alpha \omega}\right\}
(b) Qual a expressão real de x(t) ?

Passo 1

O enunciado trata do oscilador harmônico amortecido, cuja equação é
\ddot x + 2\alpha \dot x + \omega_{0}^{2} x = F\cos(\omega t - \varphi),
e pede a solução de regime forçado numa forma complexificada. Vamos usar o método de números complexos, tomando uma solução particular na forma x_{\mathrm{c}}(t)=X e^{-i(\omega t-\varphi)}, e depois extrair a parte real.

Passo 2

Adotamos o ansatz complexo
x_{\mathrm{c}}(t)=X\,e^{-i(\omega t-\varphi)},
onde X é um número complexo a determinar. Assim
\dot x_{\mathrm{c}}=-i\omega X\,e^{-i(\omega t-\varphi)}, \quad \ddot x_{\mathrm{c}}=(-i\omega)^{2}X\,e^{-i(\omega t-\varphi)}=-\omega^{2}X\,e^{-i(\omega t-\varphi)}.
Substituindo na equação diferencial complexificada
\ddot x_{\mathrm{c}}+2\alpha\dot x_{\mathrm{c}}+\omega_{0}^{2}x_{\mathrm{c}} =F\,e^{-i(\omega t-\varphi)},
vem
\bigl(-\omega^{2}+2\alpha(-i\omega)+\omega_{0}^{2}\bigr)X\,e^{-i(\omega t-\varphi)} =F\,e^{-i(\omega t-\varphi)}.

Passo 3

Cancelando o fator e^{-i(\omega t-\varphi)}, obtemos
\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}-i2\alpha\omega\bigr)X = F,
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X = \frac{F}{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)-i2\alpha\omega}.
Portanto a solução particular complexa é
x_{\mathrm{c}}(t)=\frac{F\,e^{-i(\omega t-\varphi)}} {\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)-i2\alpha\omega}.
A solução real procurada é x(t)=\mathrm{Re}\{x_{\mathrm{c}}(t)\}, o que responde a parte (a).

Passo 4

Para escrever x(t) em forma real e explícita, escrevemos o denominador em módulo e fase. Definimos
\Delta = \omega_{0}^{2}-\omega^{2}, \quad \delta = \arctan\!\Bigl(\frac{2\alpha\omega}{\Delta}\Bigr),
de modo que
\bigl(\Delta - i2\alpha\omega\bigr)^{-1} =\frac{1}{\sqrt{\Delta^{2}+(2\alpha\omega)^{2}}}\, e^{\,i\delta}.
Então
x_{\mathrm{c}}(t) =\frac{F}{\sqrt{\Delta^{2}+(2\alpha\omega)^{2}}} \,e^{\,i\delta}\,e^{-i(\omega t-\varphi)} =\frac{F}{\sqrt{\Delta^{2}+(2\alpha\omega)^{2}}} \,e^{-i(\omega t-\varphi-\delta)}.
A parte real é
x(t) =\frac{F}{\sqrt{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)^{2}+(2\alpha\omega)^{2}}} \cos\!\bigl(\omega t-\varphi-\delta\bigr).

Resposta

x(t)=\mathrm{Re}\Biggl\{\frac{F\,e^{-i(\omega t-\varphi)}} {\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)-i2\alpha\omega}\Biggr\} =\frac{F}{\sqrt{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)^{2}+(2\alpha\omega)^{2}}} \cos\!\Bigl(\omega t-\varphi-\arctan\!\frac{2\alpha\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\Bigr).

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