& y^prime+12 y=2 cos (x) & y(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x) + tfrac12,y(x) = 2cos(x),
com condição inicial y(0)=-1. Para resolver usamos o método do fator integrante, que consiste em encontrar mu(x)=e^integral p(x),dx quando a EDO está na forma
y' + p(x),y = q(x)

Passo 2

Identificamos
p(x) = tfrac12, q(x) = 2cos(x)
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral tfrac12,dxr) = e^x2

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
e^x2y' + tfrac12,e^x2y = 2e^x2cos(x),
que é equivalente a
ddxl(e^x2yr) = 2e^x2cos(x)
Agora integramos ambos os lados em relação a x.

Passo 4

Calculemos
integral 2e^x2cos(x),dx
Usamos a fórmula
integral e^axcos(bx),dx =e^axa^2+b^2l(acos(bx)+bsin(bx)r),
com a=tfrac12 e b=1. Então
integral e^x2cos(x),dx =e^x2tfrac14+1 l(tfrac12cos(x)+sin(x)r) =45e^x2l(tfrac12cos(x)+sin(x)r) =e^x2l(tfrac25cos(x)+tfrac45sin(x)r)
Multiplicando por 2 fica
integral 2e^x2cos(x),dx =e^x2l(tfrac45cos(x)+tfrac85sin(x)r)+C

Passo 5

Logo
e^x2y = e^x2l(tfrac45cos(x)+tfrac85sin(x)r)+C,
ou seja
y(x) =tfrac45cos(x)+tfrac85sin(x)+Ce^-x2
Aplicando y(0)=-1
-1 = tfrac45cos(0)+tfrac85sin(0)+C = tfrac45+C ;;Longrightarrow;; C=-tfrac95

Resposta

y(x)=45cos(x)+85sin(x)-95e^-x2

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