Encontre a solução do estado estacionário da equação de calor alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t que satisfaz as condições de contorno dados.
u(0, t)=T, partial upartial x(L, t)=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução em regime permanente (estado estacionário) da equação do calor
alpha^2,partial^2upartial x^2=partial upartial t
sujeita às condições de contorno
u(0,t)=T e partial upartial x(L,t)=0.
Em estado estacionário temos partial upartial t=0, de modo que a PDE vira uma ODE em x.

Passo 2

Com partial u/partial t=0 a equação fica
alpha^2,d^2udx^2=0
ou seja
d^2udx^2=0

Passo 3

A solução geral de d^2udx^2=0 é uma função afim em x:
u(x)=A,x + B,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicando u(0)=T obtemos
u(0)=Acdot0 + B = T Longrightarrow B=T
Em seguida, a condição dudx(L)=0
dudx(x)=A Longrightarrow A=0

Passo 5

Substituindo A=0 e B=T na forma geral, a solução estacionária é
u(x)=T

Resposta

u(x)=T

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