Encontre a solução do estado estacionário da equação de calor alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t que satisfaz as condições de contorno dados.
partial upartial x(0, t)=0, u(L, t)=T;

Passo 1

O enunciado pede a solução de estado estacionário da equação de calor
alpha^2,partial^2upartial x^2 ;=;partial upartial t
com as condições de contorno
partial upartial x(0,t)=0 e u(L,t)=T.
Para estado estacionário, temos partial u/partial t=0, então vamos resolver a ODE resultante em x.

Passo 2

Impondo partial u/partial t=0 na equação de calor, sobra
alpha^2,d^2udx^2=0
ou seja
d^2udx^2=0

Passo 3

Integrando uma vez em x, obtemos
dudx=C1,
e integrando de novo
u(x)=C1,x + C2,
onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Usamos a condição partial upartial x(0,t)=0. Como partial u/partial x=C1, em x=0 isso dá
C1=0
Logo u(x)=C2, uma constante.

Passo 5

Aplicando agora u(L,t)=T, temos
u(L)=C2=T
Portanto C2=T e a solução estacionária é uniforme.

Resposta

uest(x)=T, 0<= x<= L

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