Se .)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=2^arctg(x^2)
e pede a derivada de f em x=1. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia em duas etapas: primeiro derivar a exponencial de base 2 e, em seguida, derivar a função interna arctg(x^2).

Passo 2

Seja u(x)=arctg(x^2). Como f(x)=2^u(x), a derivada de uma exponencial de base a é
f'(x)=2^u(x)ln(2)cdot u'(x)

Passo 3

Agora derivamos
u(x)=arctg(x^2)
Pela regra da derivada de arctg(v) e da potência, temos
u'(x)=ddxl[arctg(x^2)r] =11+(x^2)^2cdot 2x =2x1+x^4

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =2^arctg(x^2)ln(2),2x1+x^4

Passo 5

Basta avaliar em x=1. Como arctg(1^2)=arctg(1)=tfracpi4 e dfrac2cdot11+1^4=1, segue
f'(1) =2^pi/4ln(2)cdot1 =2^pi/4ln(2)

Resposta

f'(1)=2^pi/4ln(2)

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