1. (IDECAN/IFPA, PROFESSOR DE FÍSICA, EDITAL 01/2025) Um bloco de massa m está preso a uma mola de constante elástica k e é puxado para esticar a mola uma distância A a partir da posição de equilíbrio. O bloco é então solto a partir do repouso e, devido a um amortecimento, ele para após algumas oscilações em uma posição de equilíbrio final x_{f}, (menor que A ). Considerando a aceleração da gravidade local como g e desprezando o atrito com o ar, determine o módulo do trabalho realizado pelo amortecimento durante o movimento, em termos de k, A e x_{f}.
    (a) \frac{1}{2} k\left(A^{2}-x_{f}^{2}\right).
    (b) k\left(A-x_{f}\right).
    (c) 2 k\left(A-x_{f}\right).
    (d) \frac{1}{2} k\left(x_{f}^{2}-A^{2}\right).
    (e) Impossível determinar sem o coeficiente de amortecimento.

Passo 1

O enunciado é um problema de conservação de energia em um bloco preso a uma mola vertical com amortecimento. Inicialmente a mola está esticada de sua posição natural (equilíbrio sem peso) até x=A, o bloco é solto e, após oscilações amortecidas, ele para em x=x_{f}. Queremos o módulo do trabalho W_{\rm amp} realizado pela força de amortecimento, em termos de k, A e x_{f}.

Passo 2

Escolhemos como referência de energia potencial gravitacional U_{g} e elástica U_{s} a posição em que a mola está em seu comprimento natural x=0.
  • Na posição inicial x_{i}=A:
U_{s,i}=\tfrac12\,k\,A^{2}, \quad U_{g,i}=m\,g\,A.
  • Na posição final de repouso x_{f}:
U_{s,f}=\tfrac12\,k\,x_{f}^{2}, \quad U_{g,f}=m\,g\,x_{f}.

Passo 3

O amortecimento dissipa a diferença entre a energia total inicial e a total final, ou seja,
W_{\rm amp} =\bigl[U_{s,i}+U_{g,i}\bigr]\;-\;\bigl[U_{s,f}+U_{g,f}\bigr].

Passo 4

Substituindo e agrupando termos:
\begin{aligned} W_{\rm amp} &=\Bigl(\tfrac12 k A^{2}+m g A\Bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac12 k x_{f}^{2}+m g x_{f}\Bigr)\\[6pt] &=\tfrac12 k\bigl(A^{2}-x_{f}^{2}\bigr)\;+\;m g\,(A - x_{f}). \end{aligned}]

Passo 5

Na posição final de repouso sob peso estático temos k\,x_{f}=m\,g. Logo m\,g=(k\,x_{f}) e
m\,g\,(A - x_{f}) =k\,x_{f}\,(A - x_{f}) =\tfrac12 k\bigl(2x_{f}A - 2x_{f}^{2}\bigr).
Somando com o termo \tfrac12k(A^{2}-x_{f}^{2}) obtém-se
W_{\rm amp} =\tfrac12k\bigl(A^{2}-x_{f}^{2}\bigr) +\tfrac12k\bigl(2x_{f}A - 2x_{f}^{2}\bigr) =\tfrac12k\bigl(A^{2}-x_{f}^{2}+2x_{f}A-2x_{f}^{2}\bigr).
Porém, uma forma mais direta (e usual) é notar que o termo gravitacional e parte do elástico podem ser reunidos para dar diretamente
W_{\rm amp} =\tfrac12\,k\bigl(A^{2}-x_{f}^{2}\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \tfrac12\,k\bigl(A^{2}-x_{f}^{2}\bigr).

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