Identificar e esboçar o gráfico das superfícies a seguir, utilizando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados:
3 x^{2}+z^{2}-4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
3x^{2}+z^{2}-4y=0
e pede para identificar e esboçar o gráfico usando os traços nos planos coordenados e em planos paralelos a eles.
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece):
  • A equação implícita da superfície é \;3x^{2}+z^{2}-4y=0.
    O que se pede:
  • Identificar que tipo de superfície é (nome e características).
  • Determinar e usar os traços nas interseções com os planos coordenados ( x=0, y=0, z=0) e com planos paralelos a esses (como y=c, x=x_{0}, z=z_{0}) para esboçar o gráfico.

Passo 2

Escrever a equação num formato explícito para entender a forma da superfície. Isolar y:
3x^{2}+z^{2}-4y=0 \quad\Longrightarrow\quad 4y=3x^{2}+z^{2}
\therefore \quad y=\frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{4}z^{2}.
Explicação didática: agora a equação está no formato y= (forma quadrática em x e z). Isso mostra que para cada par (x,z) existe exatamente um y (a menos de restrição), e como y cresce com x^{2} e z^{2}, a superfície tem um “fundo” (vértice) e abre numa direção: se o coeficiente que multiplica y fosse negativo a abertura seria na direção negativa; aqui y está escrito explicitamente e cresce com x^{2} e z^{2}, então a abertura é na direção positiva de y.

Passo 3

Traços nos planos coordenados:
  • Plano x=0 (plano yz): substituir x=0 na equação: 3\cdot0^{2}+z^{2}-4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{4}z^{2}.Interpretação: é uma parábola no plano yz, com vértice em (0,0,0), abrindo para y>0.
  • Plano z=0 (plano xy): substituir z=0: 3x^{2}+0-4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{3}{4}x^{2}.Interpretação: é outra parábola (mais “estreita” no eixo x que a anterior), também com vértice em (0,0,0), abrindo para y>0.
  • Plano y=0 (plano xz): substituir y=0: 3x^{2}+z^{2}=0.Como somatório de quadrados é zero só se ambos os quadrados são zero, a interseção é apenas o ponto (0,0,0).
Comentário amigável: essas três interseções mostram que o vértice da superfície está em (0,0,0) e que, ao cortar pelos planos coordenados que contêm o eixo y, aparecem parábolas que abrem para cima (no sentido positivo de y).

Passo 4

Traços por planos horizontais y=c (planos paralelos ao plano xz):
  • Substituir y=c em \;3x^{2}+z^{2}-4y=0 3x^{2}+z^{2}=4c.
  • Para c>0 essa é a equação de uma elipse centrada na origem do plano xz. Para c=0 reduz ao ponto (0,0); para c<0 não há pontos reais (pois a soma de quadrados não pode ser negativa).
  • Calcular semi-eixos da elipse: dividir por 4c, \frac{x^{2}}{\tfrac{4c}{3}}+\frac{z^{2}}{4c}=1.Assim os semi-eixos são a=\sqrt{\tfrac{4c}{3}}=\tfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{c}\quad\text{(direção }x\text{)}, \qquad b=\sqrt{4c}=2\sqrt{c}\quad\text{(direção }z\text{)}.çãçã
Exemplo numérico útil para o esboço: para c=1 a elipse em y=1 é 3x^{2}+z^{2}=4, com semi-eixos a=\tfrac{2}{\sqrt{3}}\approx1,155 e b=2. Desenhe essa elipse no plano paralelo a xz na altura y=1. Para alturas maiores as elipses crescem proporcionalmente a \sqrt{c}.

Passo 5

Traços por planos verticais x=x_{0} (planos paralelos ao plano yz):
  • Substituir x=x_{0}: 3x_{0}^{2}+z^{2}-4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{4}z^{2}+\frac{3}{4}x_{0}^{2}.
  • Interpretação: para cada x_{0} fixo a interseção é uma parábola em z- y, com abertura para y>0. O vértice da parábola está em z=0 e y=\tfrac{3}{4}x_{0}^{2}.
    Exemplo: para x_{0}=1 a parábola é y=\tfrac{1}{4}z^{2}+\tfrac{3}{4}, ou seja o vértice está em y=0,75.

Passo 6

Traços por planos verticais z=z_{0} (planos paralelos ao plano xy):
  • Substituir z=z_{0}: 3x^{2}+z_{0}^{2}-4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{4}z_{0}^{2}.
  • Interpretação: para cada z_{0} fixo a interseção é uma parábola em x- y, com abertura para y>0 e vértice em x=0,\;y=\tfrac{1}{4}z_{0}^{2}.
    Exemplo: para z_{0}=1 a parábola é y=\tfrac{3}{4}x^{2}+\tfrac{1}{4}, vértice em y=0,25.

Passo 7

Interpretação geométrica global e forma paramétrica:
  • A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo do paraboloide coincidente com o eixo positivo de y. As seções transversais por planos y=c são elipses; as seções por planos que contêm o eixo y são parábolas.
  • Forma paramétrica (útil para visualizar): (x,y,z)=(u,\;\tfrac{3}{4}u^{2}+\tfrac{1}{4}v^{2},\;v),\qquad u,v\in\mathbb{R}.
Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
  1. Marque o vértice em (0,0,0).
  2. Desenhe as parábolas nas seções z=0 e x=0: y=\tfrac{3}{4}x^{2} (no plano xy) e y=\tfrac{1}{4}z^{2} (no plano yz). Elas mostram a curvatura em duas direções perpendiculares.
  3. Em alturas y=1 e y=2 desenhe elipses 3x^{2}+z^{2}=4 e 3x^{2}+z^{2}=8 para visualizar o “bolo” que vai ficando mais largo conforme y cresce.
  4. Conecte suavemente as elipses formando um “bowl” voltado para cima (direção positiva de y).
Dica motivacional: imagine uma tigela simétrica em torno do eixo y, mas esticada no sentido z (porque o coeficiente de z^{2} é menor que o de x^{2} quando se normaliza por y), isso ajuda a desenhar rápido na prova.

Passo 8

Recapitulando os traços principais (resumo rápido para consulta ao fazer esboço):
  • x=0:\; y=\tfrac{1}{4}z^{2} (parábola no plano yz).
  • z=0:\; y=\tfrac{3}{4}x^{2} (parábola no plano xy).
  • y=0: interseção apenas em (0,0,0).
  • y=c>0:\; 3x^{2}+z^{2}=4c (elipses crescendo com c).
  • Vértice em (0,0,0); abre para y>0.

Resposta

Paraboloide elíptico dado por y=\dfrac{3}{4}x^{2}+\dfrac{1}{4}z^{2}, com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo da direção positiva de y; traços: x=0:\;y=\tfrac{1}{4}z^{2}, z=0:\;y=\tfrac{3}{4}x^{2}, y=c>0:\;3x^{2}+z^{2}=4c (elipses).

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