Identificar e esboçar o gráfico das superfícies a seguir, utilizando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados:
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede para identificar e esboçar o gráfico usando os traços nos planos coordenados e em planos paralelos a eles.
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece):
Informações dadas (apenas o que o enunciado fornece):
- A equação implícita da superfície é
O que se pede: - Identificar que tipo de superfície é (nome e características).
- Determinar e usar os traços nas interseções com os planos coordenados (
, , ) e com planos paralelos a esses (como , , ) para esboçar o gráfico.
Passo 2
Escrever a equação num formato explícito para entender a forma da superfície. Isolar
:
Explicação didática: agora a equação está no formato
(forma quadrática em
e
). Isso mostra que para cada par
existe exatamente um
(a menos de restrição), e como
cresce com
e
, a superfície tem um “fundo” (vértice) e abre numa direção: se o coeficiente que multiplica
fosse negativo a abertura seria na direção negativa; aqui
está escrito explicitamente e cresce com
e
, então a abertura é na direção positiva de
.
Passo 3
Traços nos planos coordenados:
- Plano
(plano ): substituir na equação: Interpretação: é uma parábola no plano , com vértice em , abrindo para . - Plano
(plano ): substituir : Interpretação: é outra parábola (mais “estreita” no eixo que a anterior), também com vértice em , abrindo para . - Plano
(plano ): substituir : Como somatório de quadrados é zero só se ambos os quadrados são zero, a interseção é apenas o ponto .
Comentário amigável: essas três interseções mostram que o vértice da superfície está em
e que, ao cortar pelos planos coordenados que contêm o eixo
, aparecem parábolas que abrem para cima (no sentido positivo de
).
Passo 4
Traços por planos horizontais
(planos paralelos ao plano
):
- Substituir
em dá - Para
essa é a equação de uma elipse centrada na origem do plano . Para reduz ao ponto ; para não há pontos reais (pois a soma de quadrados não pode ser negativa). - Calcular semi-eixos da elipse: dividir por
, Assim os semi-eixos são
Exemplo numérico útil para o esboço: para
a elipse em
é
, com semi-eixos
e
. Desenhe essa elipse no plano paralelo a
na altura
. Para alturas maiores as elipses crescem proporcionalmente a
.
Passo 5
Traços por planos verticais
(planos paralelos ao plano
):
- Substituir
: - Interpretação: para cada
fixo a interseção é uma parábola em - , com abertura para . O vértice da parábola está em e .
Exemplo: paraa parábola é , ou seja o vértice está em .
Passo 6
Traços por planos verticais
(planos paralelos ao plano
):
- Substituir
: - Interpretação: para cada
fixo a interseção é uma parábola em - , com abertura para e vértice em .
Exemplo: paraa parábola é , vértice em .
Passo 7
Interpretação geométrica global e forma paramétrica:
- A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em
e eixo do paraboloide coincidente com o eixo positivo de . As seções transversais por planos são elipses; as seções por planos que contêm o eixo são parábolas. - Forma paramétrica (útil para visualizar):
Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
- Marque o vértice em
. - Desenhe as parábolas nas seções
e : (no plano ) e (no plano ). Elas mostram a curvatura em duas direções perpendiculares. - Em alturas
e desenhe elipses e para visualizar o “bolo” que vai ficando mais largo conforme cresce. - Conecte suavemente as elipses formando um “bowl” voltado para cima (direção positiva de
).
Dica motivacional: imagine uma tigela simétrica em torno do eixo
, mas esticada no sentido
(porque o coeficiente de
é menor que o de
quando se normaliza por
), isso ajuda a desenhar rápido na prova.
Passo 8
Recapitulando os traços principais (resumo rápido para consulta ao fazer esboço):
-
(parábola no plano ). -
(parábola no plano ). -
interseção apenas em . -
(elipses crescendo com ). - Vértice em
; abre para .
Resposta
Paraboloide elíptico dado por
, com vértice em
e eixo ao longo da direção positiva de
; traços:
,
,
(elipses).