Para cada uma das seguintes equações, classificar a superfície e, se possível, deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede:
- classificar a superfície definida por essa equação;
-, se possível, encontrar as coordenadas do centro;
-, se possível, encontrar os comprimentos dos semi-eixos.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes das parcelas quadráticas são
,
e
; existem termos lineares em
,
e
; há uma constante
. A forma geral é uma cónica/quadrática em três variáveis (uma quádrupla ou superfície quadric).
Passo 2
Vamos simplificar a equação completando o quadrado em cada variável. Antes de aplicar, repasso a técnica de completar quadrado de forma bem clara.
Fórmula de completar o quadrado (caso geral): para uma expressão do tipo
com
,
Aqui
é a variável (por exemplo
),
é o coeficiente do termo quadrático e
é o coeficiente do termo linear. Essa identidade permite reescrever um polinômio quadrático como um quadrado perfeito mais um termo constante.
Vou aplicar essa fórmula separadamente para
,
e
.
Passo 3
Completar o quadrado para os termos em
.
A parte que envolve
é
. Identificando
e
, aplicamos a fórmula:
Calculemos os valores numéricos internos:
Portanto
Passo 4
Completar o quadrado para os termos em
.
A parte em
é
. Aqui
e
. Usando a fórmula:
Calculemos:
Logo
Passo 5
Completar o quadrado para os termos em
.
A parte em
é
. Aqui
e
. Aplicando:
Calculemos:
Portanto
Passo 6
Substituindo as reescritas em completar o quadrado na equação original:
Agrupando as partes quadráticas e as constantes:
Calculemos a soma das constantes:
Portanto a equação simplifica-se para
Passo 7
Interpretação da equação simplificada.
Cada termo da forma
com
é não-negativo (ou seja, é
) para todo valor real da variável, porque um quadrado é
e multiplicado por constante positiva permanece
.
Aqui temos a soma de três termos não-negativos igual a zero:
Uma soma de números não-negativos só pode ser zero se e somente se cada um desses termos for zero. Assim devemos ter simultaneamente
Isso implica
Portanto a “superfície” definida por essa equação é apenas o ponto
. Em termos de classificação de cônicas/quadráticas em três variáveis, trata-se de um elipsoide degenerado que colapsa a um único ponto (ou simplesmente: a superfície é o ponto indicado). Não existe uma elipsoide com semi-eixos positivos no caso, porque para um elipsoide não degenerado a equação tem a forma
com
. Aqui o lado esquerdo é sempre
e iguala
, não
, logo não há semi-eixos positivos: os “semi-eixos” têm comprimento zero (colapso).
Passo 8
Resumo didático curto (como lembrar na prova): ao completar o quadrado e obter uma soma positiva igual a zero, a única solução é quando cada quadrado é zero — então a superfície é um ponto. Se ao completar o quadrado houvesse sobrado uma constante positiva no lado direito (por exemplo igual a
), aí sim poderia ser um elipsoide com semi-eixos
, etc. Mas neste problema a constante resultante é
, então é degenerado.
Resposta
Classificação: ponto (elipsoide degenerado).
Centro:
.
Comprimentos dos semi-eixos:
.