Para cada uma das seguintes equações, classificar a superfície e, se possível, deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
4 x^{2}+5 y^{2}+3 z^{2}+12 x-20 y+24 z+77=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
4x^{2}+5y^{2}+3z^{2}+12x-20y+24z+77=0
e pede:
  • classificar a superfície definida por essa equação;
    -, se possível, encontrar as coordenadas do centro;
    -, se possível, encontrar os comprimentos dos semi-eixos.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes das parcelas quadráticas são 4, 5 e 3; existem termos lineares em x, y e z; há uma constante 77. A forma geral é uma cónica/quadrática em três variáveis (uma quádrupla ou superfície quadric).

Passo 2

Vamos simplificar a equação completando o quadrado em cada variável. Antes de aplicar, repasso a técnica de completar quadrado de forma bem clara.
Fórmula de completar o quadrado (caso geral): para uma expressão do tipo a u^{2}+b u com a\neq0,
a u^{2}+b u = a\!\left(u+\frac{b}{2a}\right)^{2} - a\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}.
Aqui u é a variável (por exemplo x), a é o coeficiente do termo quadrático e b é o coeficiente do termo linear. Essa identidade permite reescrever um polinômio quadrático como um quadrado perfeito mais um termo constante.
Vou aplicar essa fórmula separadamente para x, y e z.

Passo 3

Completar o quadrado para os termos em x.
A parte que envolve x é 4x^{2}+12x. Identificando a=4 e b=12, aplicamos a fórmula:
4x^{2}+12x = 4\!\left(x+\frac{12}{2\cdot 4}\right)^{2} - 4\left(\frac{12}{2\cdot 4}\right)^{2}.
Calculemos os valores numéricos internos:
\frac{12}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}, \qquad \left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}.
Portanto
4x^{2}+12x = 4\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2} - 4\cdot\frac{9}{4} = 4\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2} - 9.

Passo 4

Completar o quadrado para os termos em y.
A parte em y é 5y^{2}-20y. Aqui a=5 e b=-20. Usando a fórmula:
5y^{2}-20y = 5\!\left(y+\frac{-20}{2\cdot 5}\right)^{2} - 5\left(\frac{-20}{2\cdot 5}\right)^{2}.
Calculemos:
\frac{-20}{2\cdot 5}=\frac{-20}{10}=-2, \qquad (-2)^{2}=4.
Logo
5y^{2}-20y = 5\left(y-2\right)^{2} - 5\cdot 4 = 5\left(y-2\right)^{2} - 20.

Passo 5

Completar o quadrado para os termos em z.
A parte em z é 3z^{2}+24z. Aqui a=3 e b=24. Aplicando:
3z^{2}+24z = 3\!\left(z+\frac{24}{2\cdot 3}\right)^{2} - 3\left(\frac{24}{2\cdot 3}\right)^{2}.
Calculemos:
\frac{24}{2\cdot 3}=\frac{24}{6}=4, \qquad 4^{2}=16.
Portanto
3z^{2}+24z = 3\left(z+4\right)^{2} - 3\cdot 16 = 3\left(z+4\right)^{2} - 48.

Passo 6

Substituindo as reescritas em completar o quadrado na equação original:
\bigl[4\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2} - 9\bigr] +\bigl[5\left(y-2\right)^{2} - 20\bigr] +\bigl[3\left(z+4\right)^{2} - 48\bigr] +77=0.
Agrupando as partes quadráticas e as constantes:
4\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2}+5\left(y-2\right)^{2}+3\left(z+4\right)^{2} +(-9-20-48+77)=0.
Calculemos a soma das constantes:
-9-20-48+77 = (-29)-48+77 = -77+77 = 0.
Portanto a equação simplifica-se para
4\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2}+5\left(y-2\right)^{2}+3\left(z+4\right)^{2}=0.

Passo 7

Interpretação da equação simplificada.
Cada termo da forma A\,(\text{coisa})^{2} com A>0 é não-negativo (ou seja, é \ge 0) para todo valor real da variável, porque um quadrado é \ge 0 e multiplicado por constante positiva permanece \ge 0.
Aqui temos a soma de três termos não-negativos igual a zero:
4\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2}\ge 0,\qquad 5\left(y-2\right)^{2}\ge 0,\qquad 3\left(z+4\right)^{2}\ge 0.
Uma soma de números não-negativos só pode ser zero se e somente se cada um desses termos for zero. Assim devemos ter simultaneamente
\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2}=0,\qquad \left(y-2\right)^{2}=0,\qquad \left(z+4\right)^{2}=0.
Isso implica
x=-\tfrac{3}{2},\qquad y=2,\qquad z=-4.
Portanto a “superfície” definida por essa equação é apenas o ponto \left(-\tfrac{3}{2},\,2,\,-4\right). Em termos de classificação de cônicas/quadráticas em três variáveis, trata-se de um elipsoide degenerado que colapsa a um único ponto (ou simplesmente: a superfície é o ponto indicado). Não existe uma elipsoide com semi-eixos positivos no caso, porque para um elipsoide não degenerado a equação tem a forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-l)^{2}}{c^{2}}=1,
com a,b,c>0. Aqui o lado esquerdo é sempre \ge 0 e iguala 0, não 1, logo não há semi-eixos positivos: os “semi-eixos” têm comprimento zero (colapso).

Passo 8

Resumo didático curto (como lembrar na prova): ao completar o quadrado e obter uma soma positiva igual a zero, a única solução é quando cada quadrado é zero — então a superfície é um ponto. Se ao completar o quadrado houvesse sobrado uma constante positiva no lado direito (por exemplo igual a 1), aí sim poderia ser um elipsoide com semi-eixos a=\sqrt{\dfrac{\text{constante}}{\text{coeficiente}_x}}, etc. Mas neste problema a constante resultante é 0, então é degenerado.

Resposta

Classificação: ponto (elipsoide degenerado).
Centro: \left(-\tfrac{3}{2},\,2,\,-4\right).
Comprimentos dos semi-eixos: a=b=c=0.

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