Identificar, se existirem, os valores de x \in D(f)\) nos quais a função \(f(x)\) não é contínua: \(f(x)= \begin{cases}\frac{x}{|x|} & \text { se } x \neq 0 \\\\ -1 & \text { se } x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{|x|},&x\neq0,\\\\ -1,&x=0. \end{cases}
O que precisamos é identificar os pontos em que (f] não é contínua, ou seja, onde o limite não coincide com o valor da função.

Passo 2

Para x>0 temos \frac{x}{|x|}=1. Logo, em qualquer ponto a>0
f(x)=1
num vizinhança de a, e portanto f é contínua para todo x>0.

Passo 3

Para x<0 temos \frac{x}{|x|}=-1. Logo, em qualquer ponto b<0
f(x)=-1
num vizinhança de b, e portanto f é contínua para todo x<0.

Passo 4

Resta verificar a continuidade em x=0. Calculamos os limites laterais:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(-1)=-1
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(1)=1
Como -1\neq1, o limite \lim_{x\to0}f(x) não existe, logo f é descontínua em x=0.

Resposta

A única descontinuidade de f ocorre em x=0.

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