(\mathbf{1 , 5} pontos) Convergência ou Divergência: Critério da Razão e Critério da Raiz Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta utilizando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz.
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2^{k}}{k!}
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2^{k}}{k!}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz. Trata-se de uma série de termos positivos, então podemos aplicar diretamente o Critério da Razão.
Passo 2
O Critério da Razão diz que, para uma série de termos
, se
existe e satisfaz
, então a série converge absolutamente. Se
, diverge; se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aqui
. Então
Tomando o limite quando
, temos
Passo 4
Como
, pelo Critério da Razão a série
converge absolutamente.
Resposta
A série converge (absolutamente) pelo Critério da Razão.