(\mathbf{1 , 5} pontos) Convergência ou Divergência: Critério da Razão e Critério da Raiz Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta utilizando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz.
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}
usando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz. Trata-se de uma série de termos positivos, então podemos aplicar diretamente o Critério da Razão.

Passo 2

O Critério da Razão diz que, para uma série de termos a_{k}>0, se
L = \lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}
existe e satisfaz L<1, então a série converge absolutamente. Se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui a_{k} = \frac{2^{k}}{k!}. Então
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{\displaystyle\frac{2^{\,k+1}}{(k+1)!}}{\displaystyle\frac{2^{\,k}}{k!}} = \frac{2^{\,k+1}}{(k+1)!\,}\cdot\frac{k!}{2^{\,k}} = \frac{2}{k+1}.
Tomando o limite quando k\to\infty, temos
L = \lim_{k\to\infty}\frac{2}{k+1} = 0.

Passo 4

Como L=0<1, pelo Critério da Razão a série
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}
converge absolutamente.

Resposta

A série converge (absolutamente) pelo Critério da Razão.

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