(\mathbf{1 , 5} pontos) Convergência ou Divergência: Critério da Razão e Critério da Raiz Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta utilizando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!2{n}}{n{n}} \quad$

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n!\,2^n}{n^n}
utilizando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz. Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos aplicar o Critério da Razão (d’Alembert).

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n!\,2^n}{n^n}
e consideramos o quociente
\frac{a_{n+1}}{a_n}\,,
cujo limite quando n\to\infty determina a convergência da série.

Passo 3

Calculamos o quociente:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)!\,2^{\,n+1}}{(n+1)^{\,n+1}}} {\displaystyle\frac{n!\,2^n}{n^n}} =2\;\frac{(n+1)!}{n!}\;\frac{n^n}{(n+1)^{\,n+1}} =2\,(n+1)\;\frac{n^n}{(n+1)^{\,n+1}} =2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\!.

Passo 4

Agora tomamos o limite:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =2\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} =2\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{-n} =2e^{-1} =\frac{2}{e}.

Passo 5

Como \tfrac{2}{e}<1, o Critério da Razão diz que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n!\,2^n}{n^n} é convergente.

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