(\mathbf{1 , 5} pontos) Convergência ou Divergência: Critério da Razão e Critério da Raiz Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta utilizando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!2{n}}{n{n}} \quad$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!2{n}}{n{n}} \quad$
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
utilizando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz. Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos aplicar o Critério da Razão (d’Alembert).
utilizando o Critério da Razão ou o Critério da Raiz. Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos aplicar o Critério da Razão (d’Alembert).
Passo 2
Definimos
e consideramos o quociente
cujo limite quando
determina a convergência da série.
Passo 3
Calculamos o quociente:
Passo 4
Agora tomamos o limite:
Passo 5
Como
, o Critério da Razão diz que a série converge absolutamente.
Resposta
A série
é convergente.