Identificar, se existirem, os valores de x \in D(f) nos quais a função f(x) não é contínua:
f(x)=\frac{x-|x|}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x - |x|}{x}
e pede para identificar, se existirem, os valores de x\in D(f) nos quais f não é contínua. O conteúdo aqui envolve domínio de função, definição de continuidade em pontos do domínio e reescrever a função em forma piecewise usando a definição de |x|.

Passo 2

Antes de estudar continuidade, determinamos o domínio D(f). Há divisão por x, logo não podemos ter x=0. Assim
D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Para ver o comportamento de f, usamos a definição de módulo:
se x>0, então |x|=x; se x<0, então |x|=-x.
  • Se x>0 então
f(x)=\frac{x - x}{x}=\frac{0}{x}=0.
  • Se x<0 então
f(x)=\frac{x - (-x)}{x}=\frac{2x}{x}=2.
Portanto
f(x)= \begin{cases} 2, & x<0,\\\\ 0, & x>0. \end{cases}

Passo 4

Em cada intervalo (-\infty,0) e (0,\infty), f é constante ( 2 à esquerda de zero e 0 à direita). Constantes são funções contínuas em todo o seu domínio. Como 0\notin D(f), não há ponto em que tenhamos de verificar continuidade em x=0.

Resposta

Não existem valores de x\in D(f) em que f não seja contínua; ou seja, f é contínua para todo x\neq0.

Exercícios relacionados