Investigue a continuidade das funções nos pontos indicados:
f(x)=\frac{x^{2}-3 x+7}{x^{2}-2} \quad em x=2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a continuidade da função
f(x)=\frac{x^{2}-3x+7}{x^{2}-2}
no ponto x=2. O conteúdo usado será a continuidade de funções racionais, sabendo que polinômios são contínuos em todo lugar e quocientes de funções contínuas são contínuos onde o denominador não é zero.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio de f. Como o numerador x^{2}-3x+7 é um polinômio (contínuo em \mathbb{R}) e o denominador x^{2}-2 não pode ser zero, temos
x^{2}-2 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq \pm\sqrt{2}.
Portanto o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{\,-\sqrt{2},\,\sqrt{2}\}.

Passo 3

Verificamos se o ponto x=2 pertence ao domínio. Como
2 \neq \pm\sqrt{2},
seguimos que 2 está no domínio de f.

Passo 4

Em qualquer ponto do domínio de uma função racional, o limite de f(x) quando x\to a existe e vale f(a). Logo, para a=2,
\lim_{x\to 2}f(x)=f(2).
Calculamos
f(2) =\frac{2^{2}-3\cdot2+7}{2^{2}-2} =\frac{4-6+7}{4-2} =\frac{5}{2}.

Passo 5

Como \lim_{x\to2}f(x)=f(2)=\tfrac{5}{2}, concluímos que f é contínua em x=2.

Resposta

A função f é contínua em x=2.

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