Determinar os seguintes limites, baseando-se pelos limites fundamentais:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x^{2}}
usando como ferramenta o limite fundamental
\lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{sen}(u)}{u} = 1.

Passo 2

Para aproveitar o limite fundamental, fazemos a seguinte reescrita algébrica:
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x^{2}} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\,\cdot\frac{2x}{x^{2}} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\,\cdot\frac{2}{x}.

Passo 3

Agora analisamos cada fator quando x \to 0:
— Pelo limite fundamental, temos
\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} = 1.
— Já o segundo fator é
\frac{2}{x},
que, à medida que x\to0, tende a +\infty se x\to0^{+} e a -\infty se x\to0^{-}.

Passo 4

Como o produto de um fator que tende a 1 por outro que diverge para infinito também diverge para infinito (positiva ou negativamente, conforme o lado), concluímos que
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x^{2}}
não possui limite finito quando x\to0.

Resposta

O limite diverge. Mais precisamente,
\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x^{2}} = +\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x^{2}} = -\infty.

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