Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
.
Passo 1
O enunciado dá a quádricas definida por
Precisamos identificar o tipo de superfície e determinar seus traços em secções feitas por planos paralelos aos planos coordenados. O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas e estudo de suas seções cônicas.
Passo 2
Reescrevendo, temos
Esse formato corresponde à forma
com
e
, o que caracteriza um parabolóide hiperbólico (curvatura de sela).
Passo 3
Para secções por planos paralelos ao plano
, fixamos
. A interseção satisfaz
Se
, isso vale
isto é, as retas
. Para
obtemos hipérboles: quando
a hipérbole abre-se segundo o eixo
e, quando
, segundo o eixo
.
Passo 4
Para secções por planos paralelos ao plano
, fixamos
. A interseção é
que é uma parábola no plano
com concavidade voltada para baixo (eixo
negativo) e vértice em
.
Passo 5
Para secções por planos paralelos ao plano
, fixamos
. A interseção é
que é uma parábola no plano
com concavidade voltada para cima (eixo
positivo) e vértice em
.
Resposta
A superfície é um parabolóide hiperbólico.
Seções em : hipérboles (retas se
).
Seções em : parábolas voltadas para baixo.
Seções em : parábolas voltadas para cima.
Seções em
Seções em
Seções em