Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
4 x^2-y^2=z.

Passo 1

O enunciado dá a quádricas definida por
4x^2 - y^2 = z
Precisamos identificar o tipo de superfície e determinar seus traços em secções feitas por planos paralelos aos planos coordenados. O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas e estudo de suas seções cônicas.

Passo 2

Reescrevendo, temos
z = 4x^2 - y^2
Esse formato corresponde à forma
z = x^2a^2 - y^2b^2
com a^2=tfrac14 e b^2=1, o que caracteriza um parabolóide hiperbólico (curvatura de sela).

Passo 3

Para secções por planos paralelos ao plano xy, fixamos z = z0. A interseção satisfaz
4x^2 - y^2 = z0
Se z0=0, isso vale
4x^2 - y^2 = 0,
isto é, as retas y = pm 2x. Para z0neq 0 obtemos hipérboles: quando z0>0 a hipérbole abre-se segundo o eixo x e, quando z0<0, segundo o eixo y.

Passo 4

Para secções por planos paralelos ao plano yz, fixamos x = x0. A interseção é
z = 4x0^2 - y^2,
que é uma parábola no plano yz com concavidade voltada para baixo (eixo z negativo) e vértice em (y,z)=(0,4x0^2).

Passo 5

Para secções por planos paralelos ao plano xz, fixamos y = y0. A interseção é
z = 4x^2 - y0^2,
que é uma parábola no plano xz com concavidade voltada para cima (eixo z positivo) e vértice em (x,z)=(0,-,y0^2).

Resposta

A superfície é um parabolóide hiperbólico.
Seções em z=z0: hipérboles (retas se z0=0).
Seções em x=x0: parábolas voltadas para baixo.
Seções em y=y0: parábolas voltadas para cima.

Exercícios relacionados