Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de segundo grau
e pede para identificá-la (que tipo de quádricas ela representa) e determinar os seus traços nas interseções com planos paralelos aos planos coordenados
,
e
. Vamos usar classificação de quádricas pelo sinal dos coeficientes e, em seguida, substituir
,
ou
por constantes para obter as curvas de interseção.
Passo 2
Para classificar, dividimos a equação por
e escrevemos em forma canônica:
Aqui aparecem dois termos positivos (
e
) e um termo negativo (
), com o lado direito igual a
. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, pois superfícies da forma
são hiperbolóides de uma folha.
Passo 3
Traço com o plano
. Substituindo
na equação original:
Como
para todo
, cada traço é uma elipse dada por
Passo 4
Traço com o plano
. Substituindo
obtemos
- Se
(isto é, ), temos uma hipérbole no plano :
- Se
( ), o traço degenera em duas retas . - Se
, não há interseção real.
Passo 5
Traço com o plano
. Substituindo
obtemos
- Se
( ), é uma hipérbole no plano :
- Se
( ), degenera em retas . - Se
, não há interseção real.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha
Seus traços são:
— Para : elipses
.
— Para : hipérboles
(ou retas degeneradas se
).
— Para : hipérboles
(ou retas degeneradas se
).
— Para
— Para
— Para