Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
16 x^2+9 y^2-z^2=144.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segundo grau
16x^2 + 9y^2 - z^2 = 144
e pede para identificá-la (que tipo de quádricas ela representa) e determinar os seus traços nas interseções com planos paralelos aos planos coordenados x= k, y= k e z= k. Vamos usar classificação de quádricas pelo sinal dos coeficientes e, em seguida, substituir x, y ou z por constantes para obter as curvas de interseção.

Passo 2

Para classificar, dividimos a equação por 144 e escrevemos em forma canônica:
x^29 ;+;y^216;-;z^2144;=;1
Aqui aparecem dois termos positivos ( ,x^2/9 e ,y^2/16) e um termo negativo ( -z^2/144), com o lado direito igual a +1. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, pois superfícies da forma
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
são hiperbolóides de uma folha.

Passo 3

Traço com o plano z = z0. Substituindo z=z0 na equação original:
16x^2 + 9y^2 - z0^2 = 144 Longrightarrow 16x^2 + 9y^2 = 144 + z0^2
Como 144+z0^2>0 para todo z0, cada traço é uma elipse dada por
x^2144+z0^216 ;+; y^2144+z0^29 ;=;1

Passo 4

Traço com o plano x = x0. Substituindo x=x0 obtemos
9y^2 - z^2 = 144 - 16x0^2
  • Se 144 - 16x0^2 > 0 (isto é, lvert x0rvert < 3), temos uma hipérbole no plano x=x0:
y^2tfrac144-16x0^29 ;-;z^2144-16x0^2 = 1
  • Se 144 - 16x0^2 = 0 ( lvert x0rvert=3), o traço degenera em duas retas y=pm tfracz3.
  • Se 144 - 16x0^2 < 0, não há interseção real.

Passo 5

Traço com o plano y = y0. Substituindo y=y0 obtemos
16x^2 - z^2 = 144 - 9y0^2
  • Se 144 - 9y0^2 > 0 ( lvert y0rvert < 4), é uma hipérbole no plano y=y0:
x^2tfrac144-9y0^216 ;-;z^2144-9y0^2 = 1
  • Se 144 - 9y0^2 = 0 ( lvert y0rvert=4), degenera em retas x=pm tfracz4.
  • Se 144 - 9y0^2 < 0, não há interseção real.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha
x^29 + y^216 - z^2144 = 1
Seus traços são:
— Para z=z0: elipses 16x^2+9y^2=144+z0^2.
— Para x=x0: hipérboles 9y^2-z^2=144-16x0^2 (ou retas degeneradas se 144-16x0^2=0).
— Para y=y0: hipérboles 16x^2-z^2=144-9y0^2 (ou retas degeneradas se 144-9y0^2=0).

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