Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
16 x^2-9 y^2-z^2=144.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quadŕica
16x^2 - 9y^2 - z^2 = 144
e pede (a) a identificação do tipo de quadŕica e (b) os traços em planos paralelos aos planos coordenados x=,constante, y=,constante e z=,constante.

Passo 2

Para classificar a superfície, dividimos ambos os lados por 144:
x^29 ;-;y^216;-;z^2144 ;=;1
Há um coeficiente positivo (o de x^2) e dois negativos, o que caracteriza um hiperbóide de duas folhas, com eixo principal ao longo do eixo x. As “folhas” ficam nos ramos lvert xrvert>=3.

Passo 3

Traço em x=k. Substituindo x=k na equação,
16k^2 - 9y^2 - z^2 = 144 Long<=ftrightarrow 9y^2 + z^2 = 16k^2 - 144
– Se lvert krvert>3, então 16k^2-144>0 e o traço é uma elipse de equação
y^2l(tfrac13raiz16k^2-144r)^2 ;+; z^2l(raiz16k^2-144r)^2 ;=;1
– Se lvert krvert<=3, não há pontos reais (traço vazio).

Passo 4

Traço em y=k. Substituindo y=k,
16x^2 - z^2 = 144 + 9k^2 Long<=ftrightarrow x^2tfrac144+9k^216 ;-; z^2144+9k^2 ;=;1
Esse é um ramo de hipérbole no plano x!z para todo k.

Passo 5

Traço em z=k. Substituindo z=k,
16x^2 - 9y^2 = 144 + k^2 Long<=ftrightarrow x^2tfrac144 + k^216 ;-; y^2tfrac144 + k^29 ;=;1
Também é um ramo de hipérbole, agora no plano x!y, para todo k.

Resposta

A superfície é um hiperbóide de duas folhas com eixo ao longo de x.
Traços:
  • Em x=k: elipse se lvert krvert>3, vazia se lvert krvert<=3.
  • Em y=k: hipérbole no plano xz dada por dfracx^2(144+9k^2)/16-dfracz^2144+9k^2=1.
  • Em z=k: hipérbole no plano xy dada por dfracx^2(144+k^2)/16-dfracy^2(144+k^2)/9=1.

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