Identifique a alternativa falsa:
A) o ponto (0,2) pertence ao eixo y.
B) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.
C) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.
D) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
E) o ponto ( \sqrt{3}+1, \sqrt{3}+1 ) pertence 、

Passo 1

O enunciado pede: “Identifique a alternativa falsa” entre as opções A) a E). Vou listar exatamente o que cada alternativa afirma (copiando do enunciado) para ficar claro o que temos disponível:
  • A) o ponto (0,2) pertence ao eixo y.
  • B) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.
  • C) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.
  • D) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
  • E) o ponto (\sqrt{3}+1,\\ \sqrt{3}+1) pertence 、
Observação importante: a alternativa E está incompleta no enunciado (termina com um caractere estranho e não diz a que conjunto o ponto supostamente pertence). Com o enunciado assim, não está claro qual afirmação E pretende fazer.

Passo 2

Vamos entender e testar as opções A e B (conceitos básicos sobre eixos).
  • Definição do eixo y: é o conjunto de todos os pontos com abscissa x=0. Ou seja, um ponto (x,y) pertence ao eixo y se, e somente se, x=0.
  • Definição do eixo x: é o conjunto de todos os pontos com ordenada y=0. Ou seja, um ponto (x,y) pertence ao eixo x se, e somente se, y=0.
Testando A:
  • O ponto dado é (0,2). A abscissa é x=0.
  • Como x=0, pela definição acima o ponto pertence ao eixo y.
    Logo, A é verdadeira.
Testando B:
  • O ponto dado é (4,0). A ordenada é y=0.
  • Como y=0, pela definição acima o ponto pertence ao eixo x.
    Logo, B é verdadeira.

Passo 3

Agora vou explicar o que significa “bissetriz dos quadrantes pares” e “bissetriz dos quadrantes ímpares” (conceitos sobre quadrantes e bissetrizes).
  • Quadrantes são numerados assim no sistema cartesiano: I (onde x>0,y>0), II ( x<0,y>0), III ( x<0,y<0), IV ( x>0,y<0). Os quadrantes ímpares são I e III; os pares são II e IV.
  • A bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III) é a reta que passa pela origem com inclinação +1, ou seja, a reta \;y=x\;. Geometricamente é a linha que corta os quadrantes I e III ao meio.
  • A bissetriz dos quadrantes pares (II e IV) é a reta que passa pela origem com inclinação -1, ou seja, a reta \;y=-x\;. Geometricamente é a linha que corta os quadrantes II e IV ao meio.
Para verificar se um ponto pertence a uma bissetriz, basta substituir suas coordenadas na equação da reta e ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 4

Testando C e D usando as definições acima.
Testando C (bissetriz dos quadrantes pares, isto é \;y=-x\;):
  • Ponto: (80,-80).
  • Calculo: -80 \stackrel{?}{=} - (80). Ou seja, -80 = -80, o que é verdadeiro.
    Portanto o ponto (80,-80) pertence à reta \;y=-x\;. Logo, C é verdadeira.
Testando D (bissetriz dos quadrantes ímpares, isto é \;y=x\;):
  • Ponto: (500,500).
  • Calculo: 500 \stackrel{?}{=} 500. Verdadeiro.
    Portanto o ponto (500,500) pertence à reta \;y=x\;. Logo, D é verdadeira.

Passo 5

Análise da alternativa E (problema de informação faltante).
  • O ponto listado em E é (\sqrt{3}+1,\\ \sqrt{3}+1). Note que as duas coordenadas são iguais, portanto esse ponto naturalmente pertence à reta \;y=x\; (bissetriz dos quadrantes ímpares).
  • Porém, o enunciado de E não informa qual conjunto ou reta o ponto supostamente “pertence” — a frase está truncada. Sem saber exatamente o que E afirma (por exemplo: se E dissesse “pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares”, aí E seria verdadeira; se dissesse "pertence ao eixo x" aí seria falsa), não há como concluir se E é verdadeira ou falsa.
Conclusão parcial: já verificamos que A, B, C e D são verdadeiras. Mas como E está incompleta, não é possível decidir se E é verdadeira ou falsa a partir do enunciado fornecido.

Resposta

Não é possível determinar: a alternativa E está incompleta no enunciado.

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