O arco trigonométrico \frac{29 \pi}{6} radianos é solução da equação trigonométrica:
(A) 3 \operatorname{tg}(\mathrm{x})+3 \sqrt{3}=0
(B) 6 \cos (x)+3 \sqrt{3}=0
(C) 6 \operatorname{sen}(x)+3 \sqrt{3}=0
(D) 3 \operatorname{tg}(x)-3 \sqrt{3}=0
(E) 6 \cos (\mathrm{x})-3 \sqrt{3}=0

Passo 1

O enunciado dá o arco trigonométrico \frac{29\pi}{6} radianos e pergunta em qual das equações abaixo ele é solução:
(A) 3\operatorname{tg}(x)+3\sqrt{3}=0
(B) 6\cos(x)+3\sqrt{3}=0
(C) 6\operatorname{sen}(x)+3\sqrt{3}=0
(D) 3\operatorname{tg}(x)-3\sqrt{3}=0
(E) 6\cos(x)-3\sqrt{3}=0
Informações relevantes dadas:
  • O valor do ângulo: \frac{29\pi}{6}.
  • As cinco equações que devemos testar.

Passo 2

Reduzir o ângulo à sua forma dentro de um período de 2\pi, porque as funções trigonométricas são periódicas de período 2\pi. Faço a redução subtraindo múltiplos de 2\pi:
\frac{29\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.
Logo, \frac{29\pi}{6} é equivalente a \frac{5\pi}{6} para sen, cos e tg (ou seja, produzem os mesmos valores).

Passo 3

Determinar em qual quadrante está \frac{5\pi}{6}. Sabendo que:
\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{6},\qquad \pi=\frac{6\pi}{6},
temos \frac{3\pi}{6}<\frac{5\pi}{6}<\frac{6\pi}{6}, portanto \frac{5\pi}{6} está no segundo quadrante. No segundo quadrante:
  • \sin é positivo,
  • \cos é negativo,
  • \tan é negativo (porque \tan=\dfrac{\sin}{\cos}).

Passo 4

Encontrar o ângulo de referência (o ângulo associado no primeiro quadrante). Para \frac{5\pi}{6} o ângulo de referência é
\pi-\frac{5\pi}{6}=\frac{\pi}{6}.
As razões trigonométricas conhecidas para \frac{\pi}{6} (ângulo especial) são:
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
(Estes valores vêm do triângulo de 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ ou da circunferência trigonométrica.)

Passo 5

Agora aplico os sinais corretos do segundo quadrante para obter as razões em \frac{5\pi}{6}:
\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=+\frac{1}{2}, \qquad \cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Testar cada equação substituindo essas razões e calcular o lado esquerdo para ver se zera.
(A) 3\operatorname{tg}(x)+3\sqrt{3}=0. Substituindo \operatorname{tg}(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}:
3\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+3\sqrt{3}=-\sqrt{3}+3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\neq 0.
(B) 6\cos(x)+3\sqrt{3}=0. Substituindo \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
6\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+3\sqrt{3}=-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=0.
(C) 6\operatorname{sen}(x)+3\sqrt{3}=0. Substituindo \operatorname{sen}(x)=\dfrac{1}{2}:
6\cdot\frac{1}{2}+3\sqrt{3}=3+3\sqrt{3}\neq 0.
(D) 3\operatorname{tg}(x)-3\sqrt{3}=0. Substituindo \operatorname{tg}(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}:
3\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-3\sqrt{3}=-\sqrt{3}-3\sqrt{3}=-4\sqrt{3}\neq 0.
(E) 6\cos(x)-3\sqrt{3}=0. Substituindo \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
6\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-3\sqrt{3}=-3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=-6\sqrt{3}\neq 0.

Passo 7

Das avaliações acima, apenas a expressão da equação 6\cos(x)+3\sqrt{3} se anula ao substituir x=\dfrac{29\pi}{6}. Portanto \dfrac{29\pi}{6} é solução da equação dada no item correspondente a essa expressão.

Resposta

(B)

Exercícios relacionados