Uma lesma percorre uma determinada distância, em cm, em seu primeiro dia de movimentação. No segundo dia, ela percorre 10 cm a mais do que percorreu no dia anterior. No terceiro dia, ela percorre 10 cm a mais do que percorreu no segundo dia e assim segue, sempre aumentando a distância percorrida em 10 cm relativamente ao percorrido no dia anterior. Prossegue dessa maneira até terminar sua caminhada do 22^{\circ} dia. Sabendo que ela percorreu ao todo, nesses 22 dias, a distância de 28,6 \mathrm{~m}, é correto afirmar que o primeiro dia em que a lesma percorreu mais que 1 metro e meio no mesmo dia foi o
(A) 15 .
(B) 16 .
(C) 14 . (D) 17.
(E) 13 .

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes são (peguei todos estes dados do enunciado):
  • No primeiro dia a lesma percorre uma distância desconhecida, em centímetros; chamo essa distância de a.
  • A cada dia ela aumenta o que percorre em 10 cm em relação ao dia anterior. Ou seja, a diferença entre dias consecutivos é 10 cm.
  • Isso ocorre por 22 dias, ou seja, há 22 termos na sequência de distâncias diárias.
  • A soma total percorrida nos 22 dias foi de 28{,}6 metros.
  • A pergunta: qual foi o primeiro dia em que a lesma percorreu mais que 1 metro e meio no mesmo dia? (Ou seja, primeiro dia em que a distância diária excedeu 1{,}5 m.)
Conversões úteis (fiz para trabalhar tudo em centímetros, já que o enunciado inicial usa cm):
28{,}6\\ \text{m} = 2860\\ \text{cm}, \qquad 1{,}5\\ \text{m} = 150\\ \text{cm}.

Passo 2

Modelagem e fórmula que vou usar (explicada passo a passo).
  • Represento as distâncias diárias por uma sequência onde o primeiro termo é a (em cm) e a razão (diferença entre termos consecutivos) é d=10 cm.
  • O número de termos é n=22.
  • A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula
S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a+(n-1)d\bigr).
Explicando a fórmula: S_n é a soma dos n termos; n é quantos termos somamos; a é o primeiro termo; d é a diferença entre termos; a expressão 2a+(n-1)d corresponde à soma do primeiro com o último termo multiplicada apropriadamente na dedução da fórmula. Vou aplicar essa fórmula com S_{22}=2860, n=22 e d=10.

Passo 3

Aplicando a fórmula e resolvendo para a.
S_{22}=\frac{22}{2}\bigl(2a+(22-1)\cdot10\bigr).
Calculo o que está dentro:
\frac{22}{2}=11,\qquad (22-1)\cdot10=21\cdot10=210.
Então
2860=11\bigl(2a+210\bigr).
Divido ambos os lados por 11:
\frac{2860}{11}=2a+210.
Como 11\cdot260=2860, tem-se \dfrac{2860}{11}=260. Portanto
260=2a+210.
Isolando a:
2a=260-210=50, \qquad a=\frac{50}{2}=25.
Logo o primeiro dia a lesma percorreu 25 cm.

Passo 4

Expressar a distância percorrida no k-ésimo dia e simplificar.
  • A fórmula do k-ésimo termo de uma PA é
a_k=a+(k-1)d.
Substituindo a=25 e d=10,
a_k=25+(k-1)\cdot10=25+10k-10=10k+15.
Portanto no dia k a lesma percorre \,10k+15\ cm.

Passo 5

Determinar o primeiro k tal que a distância diária exceda 150 cm.
Queremos o menor inteiro k com
a_k>150.
Substituindo a_k=10k+15,
10k+15>150.
Resolvo a desigualdade:
10k>150-15=135, \qquad k>\frac{135}{10}=13{,}5.
O menor inteiro maior que 13{,}5 é k=14. Verificação rápida:
a_{13}=10\cdot13+15=130+15=145\\ \text{cm}\quad(\le150),
a_{14}=10\cdot14+15=140+15=155\\ \text{cm}\quad(>150).
Portanto o primeiro dia em que ultrapassou 1{,}5 m foi o dia 14.

Passo 6

Resumo final e incentivo: encontramos o primeiro termo a=25 cm e a fórmula diária a_k=10k+15. Ao resolver a desigualdade obtemos k=14. Está feito — você já tem o procedimento completo para usar em provas: modelar, aplicar a fórmula da soma de PA, achar o primeiro termo e depois resolver a desigualdade para o termo desejado. Vai dar certo, confia!

Resposta

(C) 14

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