Uma lesma percorre uma determinada distância, em cm, em seu primeiro dia de movimentação. No segundo dia, ela percorre 10 cm a mais do que percorreu no dia anterior. No terceiro dia, ela percorre 10 cm a mais do que percorreu no segundo dia e assim segue, sempre aumentando a distância percorrida em 10 cm relativamente ao percorrido no dia anterior. Prossegue dessa maneira até terminar sua caminhada do
dia. Sabendo que ela percorreu ao todo, nesses 22 dias, a distância de
, é correto afirmar que o primeiro dia em que a lesma percorreu mais que 1 metro e meio no mesmo dia foi o
(A) 15 .
(B) 16 .
(C) 14
.
(E) 13 .
(A) 15 .
(B) 16 .
(C) 14
(E) 13 .
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes são (peguei todos estes dados do enunciado):
- No primeiro dia a lesma percorre uma distância desconhecida, em centímetros; chamo essa distância de
. - A cada dia ela aumenta o que percorre em
cm em relação ao dia anterior. Ou seja, a diferença entre dias consecutivos é cm. - Isso ocorre por
dias, ou seja, há termos na sequência de distâncias diárias. - A soma total percorrida nos
dias foi de metros. - A pergunta: qual foi o primeiro dia em que a lesma percorreu mais que
metro e meio no mesmo dia? (Ou seja, primeiro dia em que a distância diária excedeu m.)
Conversões úteis (fiz para trabalhar tudo em centímetros, já que o enunciado inicial usa cm):
Passo 2
Modelagem e fórmula que vou usar (explicada passo a passo).
- Represento as distâncias diárias por uma sequência onde o primeiro termo é
(em cm) e a razão (diferença entre termos consecutivos) é cm. - O número de termos é
. - A soma dos
primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula
Explicando a fórmula:
é a soma dos
termos;
é quantos termos somamos;
é o primeiro termo;
é a diferença entre termos; a expressão
corresponde à soma do primeiro com o último termo multiplicada apropriadamente na dedução da fórmula. Vou aplicar essa fórmula com
,
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula e resolvendo para
.
Calculo o que está dentro:
Então
Divido ambos os lados por
:
Como
, tem-se
. Portanto
Isolando
:
Logo o primeiro dia a lesma percorreu
cm.
Passo 4
Expressar a distância percorrida no
-ésimo dia e simplificar.
- A fórmula do
-ésimo termo de uma PA é
Substituindo
e
,
Portanto no dia
a lesma percorre
\ cm.
Passo 5
Determinar o primeiro
tal que a distância diária exceda
cm.
Queremos o menor inteiro com
Queremos o menor inteiro
Substituindo
,
Resolvo a desigualdade:
O menor inteiro maior que
é
. Verificação rápida:
Portanto o primeiro dia em que ultrapassou
m foi o dia
.
Passo 6
Resumo final e incentivo: encontramos o primeiro termo
cm e a fórmula diária
. Ao resolver a desigualdade obtemos
. Está feito — você já tem o procedimento completo para usar em provas: modelar, aplicar a fórmula da soma de PA, achar o primeiro termo e depois resolver a desigualdade para o termo desejado. Vai dar certo, confia!
Resposta
(C)