Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(h) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{2^{n-1}};
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{2^{n-1}}
e pede que eu identifique se é série de encaixe (telescópica) ou série geométrica e, quando a série convergir, calcule sua soma. Informações relevantes: o termo geral é \frac{5^{n}}{2^{n-1}} para n\ge 1. A tarefa é classificar e verificar convergência/soma.
Passo 2
O que é uma série geométrica e como detectar uma: uma série geométrica tem termos da forma ar^{n} (ou ar^{n-1}), isto é, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante r, chamada razão. A forma padrão é
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão. Critério de convergência: a série geométrica converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
\frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série diverge (não tem soma finita). Explicando as letras: a é o valor do primeiro termo da sequência de potências, r é a razão entre termos sucessivos; |r| é o valor absoluto de r, que determina se as potências vão a zero ou crescem.
Passo 3
Vou reescrever o termo geral para reconhecer a razão. Para n\ge 1,
Isto mostra que se trata de uma série geométrica com razão
r=\frac{5}{2}.
Passo 4
Aplicando o critério de convergência para séries geométricas: |r|=\left|\frac{5}{2}\right|=\frac{5}{2}=2{,}5>1. Como |r|\ge 1, a série geométrica diverge — ou seja, não converge a uma soma finita. Uma maneira alternativa e intuitiva de ver a divergência é pelo teste do termo geral: o termo a_n da série é
a_n=2\left(\frac{5}{2}\right)^{n},
e \lim_{n\to\infty} a_n não é zero (na verdade cresce para infinito), logo a série não pode convergir (um requisito necessário para convergência é que o termo geral tenda a zero).
Passo 5
Resumo didático curto: reconhecemos a série como geométrica ao reescrever o termo geral; a razão é r=\tfrac{5}{2} com |r|>1, portanto a série diverge e não tem soma finita. Força aí — quando a razão é maior que 1, os termos crescem e nunca vão a zero, então não tem jeito, a série não converge.
Resposta
Série geométrica; diverge (não possui soma finita).