Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(g) \sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}};
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar se a série é uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica, e calcular a soma quando a série convergir. A série dada é
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}}.
Informações relevantes fornecidas: o somatório começa em n=5 e o termo geral é \dfrac{1}{5^{n-1}}. Não vou resolver nada aqui, só enumerei o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Vamos olhar o termo geral explicitamente para entender a forma da série. Quando n=5 o primeiro termo vale
\frac{1}{5^{5-1}}=\frac{1}{5^{4}}=\frac{1}{625}.
Agora calculemos a razão entre termos consecutivos, isto é, o quociente \dfrac{u_{n+1}}{u_n} (onde u_n é o termo geral). Para nossa sequência de termos,
Fazendo as contas passo a passo: 625\cdot 4=2500, então \dfrac{5}{2500}=\dfrac{1}{500}.
Passo 5
Resumo prático para a prova (dica amiga):
Identifique se a razão entre termos consecutivos é constante; se for, é geométrica.
Calcule o primeiro termo que aparece no somatório e aplique S=\dfrac{a}{1-r} quando |r|<1.
Você já fez a parte mais chata: reconhecer a forma e aplicar a fórmula. Tá indo bem — respira e parte pra próxima questão!
Resposta
Série geométrica convergente.
Soma: \dfrac{1}{500}