Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(g) \sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar se a série é uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica, e calcular a soma quando a série convergir. A série dada é
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}}.
Informações relevantes fornecidas: o somatório começa em n=5 e o termo geral é \dfrac{1}{5^{n-1}}. Não vou resolver nada aqui, só enumerei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Vamos olhar o termo geral explicitamente para entender a forma da série. Quando n=5 o primeiro termo vale
\frac{1}{5^{5-1}}=\frac{1}{5^{4}}=\frac{1}{625}.
Agora calculemos a razão entre termos consecutivos, isto é, o quociente \dfrac{u_{n+1}}{u_n} (onde u_n é o termo geral). Para nossa sequência de termos,
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\dfrac{1}{5^{(n+1)-1}}}{\dfrac{1}{5^{n-1}}}=\frac{1/5^{n}}{1/5^{n-1}}=\frac{1}{5}.
A razão é constante e igual a \dfrac{1}{5}. Quando os termos têm razão constante, isso caracteriza uma série geométrica.

Passo 3

Agora dou uma breve aula prática sobre séries geométricas (pra você poder usar isso na prova):
  • Uma série geométrica na forma usual é
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k},
onde a é o primeiro termo (quando k=0) e r é a razão comum entre termos. Outra forma equivalente é \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}.
  • A condição de convergência é |r|<1. Se |r|\ge 1, a série diverge.
  • Se |r|<1, a soma é dada por
S=\frac{a}{1-r},
onde a é o primeiro termo da série (o termo inicial que está sendo somado).
No nosso caso já vimos que a razão é r=\dfrac{1}{5}. Como \left| \dfrac{1}{5}\right|<1, a série é convergente e é uma série geométrica.

Passo 4

Para calcular a soma, é útil reescrever a série como um fator fora da soma geométrica padrão. Faço uma mudança de índice ou apenas fatoro 1/5^{4}:
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5^{k+4}}=\frac{1}{5^{4}}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{k}.
Aqui apareceu uma série geométrica com primeiro termo 1 e razão r=\dfrac{1}{5}. Pelo fórmula da soma,
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{k}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{1}{\tfrac{4}{5}}=\frac{5}{4}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{5^{4}}=\dfrac{1}{625},
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}}=\frac{1}{625}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2500}=\frac{1}{500}.
Fazendo as contas passo a passo: 625\cdot 4=2500, então \dfrac{5}{2500}=\dfrac{1}{500}.

Passo 5

Resumo prático para a prova (dica amiga):
  • Identifique se a razão entre termos consecutivos é constante; se for, é geométrica.
  • Calcule o primeiro termo que aparece no somatório e aplique S=\dfrac{a}{1-r} quando |r|<1.
    Você já fez a parte mais chata: reconhecer a forma e aplicar a fórmula. Tá indo bem — respira e parte pra próxima questão!

Resposta

Série geométrica convergente.
Soma: \dfrac{1}{500}

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