Identifique as cônicas abaixo, escrevendo suas equações na forma padrão.
x y+x-2 y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica dada por xy + x - 2y + 3 = 0 e expressá-la na forma padrão. Vamos usar fatoração e mudança de variáveis para reconhecer o tipo de curva.

Passo 2

Agrupamos termos que contenham y+1. Observamos:
xy + x - 2y + 3 = x(y + 1) - 2(y + 1) + 5 = (x - 2)(y + 1) + 5.

Passo 3

Colocando a equação igual a zero, obtemos
(x - 2)(y + 1) + 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)(y + 1) = -5.

Passo 4

Definindo as novas variáveis
X = x - 2, \quad Y = y + 1,
a equação passa a ser
XY = -5,
que é a forma padrão de uma hipérbole retangular (hipérbole equilátera) no sistema X Y. As assíntotas em X Y são X=0 e Y=0, ou seja, no sistema original são x=2 e y=-1.

Resposta

A cônica é uma hipérbole retangular, cuja forma padrão é
(x - 2)(y + 1) = -5.

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