Por meio de uma translação, escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais:
x^{2}+y^{2}+2 x+4 y=20.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+y^{2}+2x+4y=20
e pede que, por meio de uma translação, a reescrevamos na forma padrão e identifiquemos os elementos principais (centro e raio). Para isso, vamos usar completamento de quadrados e definir novas variáveis transladadas.

Passo 2

Agrupamos os termos quadráticos e lineares:
x^{2}+2x \quad\text{e}\quad y^{2}+4y
e preparamos o completamento de quadrado em cada um deles.

Passo 3

Completando os quadrados:
x^{2}+2x = (x+1)^{2} - 1
y^{2}+4y = (y+2)^{2} - 4
Substituindo na equação original, fica
(x+1)^{2} - 1 \;+\;(y+2)^{2} - 4 \;=\;20
e agora ajustamos os termos constantes.

Passo 4

Somando os termos constantes ao lado direito:
(x+1)^{2} + (y+2)^{2} = 20 + 1 + 4 = 25
Para explicitar a translação, definimos
X = x + 1,\quad Y = y + 2
e obtemos a forma padrão
X^{2} + Y^{2} = 25

Passo 5

Da forma padrão X^{2}+Y^{2}=25 reconhecemos que, no sistema (X,Y), o centro é (0,0) e o raio é \sqrt{25}=5. Voltando ao sistema original (x,y), o centro fica em (-1,-2) e o raio continua sendo 5.

Resposta

A forma padrão é
(x+1)^{2} + (y+2)^{2} = 25,
o centro é (-1,-2) e o raio é 5.

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