Por meio de uma translação, escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que, por meio de uma translação, a reescrevamos na forma padrão e identifiquemos os elementos principais (centro e raio). Para isso, vamos usar completamento de quadrados e definir novas variáveis transladadas.
Passo 2
Agrupamos os termos quadráticos e lineares:
e preparamos o completamento de quadrado em cada um deles.
Passo 3
Completando os quadrados:
Substituindo na equação original, fica
e agora ajustamos os termos constantes.
Passo 4
Somando os termos constantes ao lado direito:
Para explicitar a translação, definimos
e obtemos a forma padrão
Passo 5
Da forma padrão
reconhecemos que, no sistema
, o centro é
e o raio é
. Voltando ao sistema original
, o centro fica em
e o raio continua sendo
.
Resposta
A forma padrão é
o centro é
e o raio é
.