Identifique as cônicas abaixo, escrevendo suas equações na forma padrão.
x y+x-2 y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica dada por
x y + x - 2y + 3 = 0
e escrever sua equação em forma padrão. Vamos classificar a cônica via o discriminante e depois eliminar o termo misto xy por rotação de eixos, completando quadrados para chegar na forma canônica.

Passo 2

Escrevendo no formato geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,
vemos que
A = 0,\quad B = 1,\quad C = 0,\quad D = 1,\quad E = -2,\quad F = 3.
O discriminante é
\Delta = B^2 - 4AC = 1^2 - 4\cdot0\cdot0 = 1 > 0,
logo trata-se de uma hipérbole com termo misto.

Passo 3

Para eliminar o termo xy fazemos uma rotação de eixos de ângulo \theta tal que
\tan 2\theta = \frac{B}{A - C} = \frac{1}{0}\implies 2\theta = \frac{\pi}{2}\implies \theta = \frac{\pi}{4}.
Definimos as variáveis nos novos eixos X,Y por
x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}, \quad y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Substituindo na equação original:
xy = \frac{1}{2}(X^2 - Y^2), \quad x - 2y = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(X - Y - 2X - 2Y\bigr) = \frac{-X -3Y}{\sqrt{2}}.
Logo
xy + x - 2y + 3 = \frac{1}{2}(X^2 - Y^2) + \frac{-X - 3Y}{\sqrt{2}} + 3 = 0.
Multiplicando por 2:
X^2 - Y^2 - \sqrt{2}\,(X + 3Y) + 6 = 0.

Passo 5

Agrupamos termos em X e Y e completamos quadrados:
X^2 - \sqrt{2}X = \bigl(X - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 - \tfrac12, \quad Y^2 + 3\sqrt{2}Y = \bigl(Y + \tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 - \tfrac{9}{2}.
Como na equação temos -Y^2 -3\sqrt{2}Y, isto dá
-(Y^2 + 3\sqrt{2}Y) = -\bigl(Y + \tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 + \tfrac{9}{2}.
Substituindo:
\bigl(X - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 - \bigl(Y + \tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 - \tfrac12 + \tfrac{9}{2} + 6 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl(X - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 - \bigl(Y + \tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 + 10 = 0.

Passo 6

Reescrevendo em forma padrão de hipérbole:
\bigl(Y + \tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 - \bigl(X - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\bigl(Y + \tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)^2}{10} - \frac{\bigl(X - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2}{10} = 1.

Resposta

A equação representa uma hipérbole. Em eixos rotacionados (X,Y) com ângulo \theta = \pi/4, sua forma padrão é
\frac{\bigl(Y + \tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)^2}{10} - \frac{\bigl(X - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2}{10} = 1.

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