Identifique o conjunto Imagem da função f(z)=\log (z) para os dominios especificados
\arg (z)=\pi / 6

Passo 1

O enunciado pede: identificar a imagem (o conjunto-valor) da função f(z)=\log(z) quando o domínio é o conjunto dos z tais que \arg(z)=\pi/6.
Informações dadas:
  • O domínio é o raio que sai da origem com argumento \pi/6, i.e. todos os z\neq 0 com \arg(z)=\pi/6.
  • A função é f(z)=\log(z). (Não foi especificado se é o logaritmo multivalorado ou a sua determinação principal.)

Passo 2

Primeira coisa útil: reescrever um número complexo em coordenadas polares. Qualquer z\neq0 pode ser escrito como
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 (módulo) e \theta=\arg(z) (argumento). Aqui o enunciado fixa \theta=\pi/6, então todos os z do domínio têm forma
z = r e^{i\pi/6},\qquad r>0.

Passo 3

Agora: o que é \log(z) em termos de r e \theta? Explicando devagar: a função logaritmo complexo é dada por
\log(z)=\ln|z| + i\arg(z),
onde \ln|z| é o logaritmo real do módulo e \arg(z) é o argumento. Atenção: \arg(z) pode ser tomado como o valor principal (único) ou como a família de valores \theta+2k\pi com k\in\mathbb{Z} (logaritmo multivalorado). Vou explicar os dois casos, porque o enunciado não especificou.

Passo 4

Substituindo z=r e^{i\pi/6} na fórmula, obtemos para cada r>0:
  • no caso multivalorado (todas as ramas),
\log(z)=\ln r + i\bigl(\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • no caso do valor principal do logaritmo (usando \Arg(z) com -\pi<\Arg\le\pi), como \pi/6 está dentro do intervalo principal, temos
\Log(z)=\ln r + i\tfrac{\pi}{6}.

Passo 5

Interpretando geometricamente: \ln r varia por todos os reais quando r varia em (0,\infty); de fato \lim_{r\to0^+}\ln r=-\infty e \lim_{r\to\infty}\ln r=+\infty. Assim:
  • na determinação principal, a imagem é a reta vertical cujo argumento imaginário é \tfrac{\pi}{6}:
\{\; x + i\tfrac{\pi}{6} \mid x\in\mathbb{R}\;\}.
  • no caso multivalorado, a imagem é a união de retas verticais paralelas, deslocadas de 2\pi entre si na direção imaginária:
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\{\; x + i\bigl(\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\bigr)\mid x\in\mathbb{R}\;\}.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia: para r=1 e k=0 obtemos \log(e^{i\pi/6})=0+i\tfrac{\pi}{6}. Para r=e obtemos \log(e\cdot e^{i\pi/6})=1+i\tfrac{\pi}{6}. Esses pontos estão sobre a reta vertical imaginária fixa.

Resposta

\{\; x + i\tfrac{\pi}{6} \mid x\in\mathbb{R}\;\}
\displaystyle \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\{\; x + i\bigl(\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\bigr)\mid x\in\mathbb{R}\;\}

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