Identifique o conjunto Imagem da função
para os dominios especificados
Passo 1
O enunciado pede: identificar a imagem (o conjunto-valor) da função
quando o domínio é o conjunto dos
tais que
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O domínio é o raio que sai da origem com argumento
, i.e. todos os com . - A função é
. (Não foi especificado se é o logaritmo multivalorado ou a sua determinação principal.)
Passo 2
Primeira coisa útil: reescrever um número complexo em coordenadas polares. Qualquer
pode ser escrito como
onde
(módulo) e
(argumento). Aqui o enunciado fixa
, então todos os
do domínio têm forma
Passo 3
Agora: o que é
em termos de
e
? Explicando devagar: a função logaritmo complexo é dada por
onde
é o logaritmo real do módulo e
é o argumento. Atenção:
pode ser tomado como o valor principal (único) ou como a família de valores
com
(logaritmo multivalorado). Vou explicar os dois casos, porque o enunciado não especificou.
Passo 4
Substituindo
na fórmula, obtemos para cada
:
- no caso multivalorado (todas as ramas),
- no caso do valor principal do logaritmo (usando
com
), como
está dentro do intervalo principal, temos
Passo 5
Interpretando geometricamente:
varia por todos os reais quando
varia em
; de fato
e
. Assim:
- na determinação principal, a imagem é a reta vertical cujo argumento imaginário é
:
- no caso multivalorado, a imagem é a união de retas verticais paralelas, deslocadas de
entre si na direção imaginária:
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia: para
e
obtemos
. Para
obtemos
. Esses pontos estão sobre a reta vertical imaginária fixa.