Analise a derivabilidade das funções abaixo. Calcule o valor da derivada em um ponto adequado.
\mathrm{f}(\mathrm{z})=\frac{\log (2 z)}{z^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Analisar a derivabilidade da função \mathrm{f}(\mathrm{z})=\dfrac{\log(2z)}{z^{2}-1}: isto é, determinar em que pontos de \mathbb{C} a função é diferenciável (holomorfa).
  • Calcular o valor da derivada num ponto adequado (ou seja, escolher um ponto onde a função seja diferenciável e avaliar \mathrm{f}'(\mathrm{z}) ali).
Informações dadas explícitas:
  • A função envolve \log(2z) (logaritmo complexo) e um denominador z^{2}-1.
  • Pontos potencialmente problemáticos: zeros do denominador z^{2}-1=0 e pontos onde \log(2z) não está definida/holomorfa (por exemplo 2z=0 e a linha de corte do ramo do logaritmo).

Passo 2

Antes de mexer nas contas, precisamos entender onde o logaritmo complexo é holomorfo (aulas rápidas e práticas).
  • O logaritmo complexo não é uma função inteira: ele não pode ser definido holomorficamente em todo \mathbb{C} porque é multivalorado. Para trabalhar, escolhe-se um ramo (por exemplo o ramo principal) que é holomorfo em \mathbb{C} menos uma semi‑reta (o “corte de ramo”).
  • Para o ramo principal do logaritmo, a função \log w é holomorfa em \mathbb{C}\setminus (-\infty,0] (ou seja, em todos os complexos exceto os reais não positivos). Nesses pontos vale a derivada
\frac{d}{dw}\log w=\frac{1}{w}.
  • Aplicando isso a w=2z, a composição z\mapsto \log(2z) será holomorfa em todo o conjunto onde 2z\not\in (-\infty,0] (ou seja, z\not\in(-\infty,0]/2) e onde 2z\neq 0 (isto é, z\neq 0). No ponto onde o ramo for escolhido de outra forma, a conclusão é análoga: há sempre um corte que exclui uma semi‑reta de pontos para os quais 2z cai na semi‑reta de corte do log.
Resumo prático: para o ramo principal, \log(2z) é holomorfo em
\mathbb{C}\setminus\bigl((-\infty,0]/2\bigr),
que também exclui z=0.

Passo 3

Agora combine as restrições da parte logarítmica com as do denominador:
  • O denominador z^{2}-1 anula-se em z=\pm 1. Nesses pontos a função tem singularidades (pólos possivelmente) e não é diferenciável.
  • Da análise do log: excluir z=0 e os pontos z tais que 2z\in(-\infty,0] (para o ramo escolhido).
Portanto, a função \mathrm{f}(z) só pode ser diferenciável em pontos z que satisfaçam simultaneamente:
z\neq \pm 1,\qquad z\neq 0,\qquad 2z\notin(-\infty,0].

Passo 4

Explico por que, nesses pontos, a função é de fato diferenciável (raciocínio teórico-prático):
  • A função z\mapsto \log(2z) é holomorfa em qualquer aberto que não cruze o corte e que não contenha z=0, portanto sua derivada é dada por regra da cadeia:
\frac{d}{dz}\log(2z)=\frac{1}{2z}\cdot 2=\frac{1}{z}.
  • A função z\mapsto z^{2}-1 é um polinômio, logo holomorfa em todo \mathbb{C} e sua derivada é 2z.
  • Produto, soma e quociente de funções holomorfas (num ponto onde o denominador é não nulo) são holomorfas. Assim, em qualquer ponto que satisfaça as restrições do Passo 3, podemos aplicar a regra do quociente para obter a derivada de \mathrm{f}.

Passo 5

Agora calculo explicitamente a derivada simbólica usando a regra do quociente e a regra da cadeia. Começando de
\mathrm{f}(z)=\frac{\log(2z)}{z^{2}-1},
aplico a regra do quociente: se g(z)=\log(2z) e h(z)=z^{2}-1, então
\mathrm{f}'(z)=\frac{g'(z)\,h(z)-g(z)\,h'(z)}{h(z)^{2}}.
Sabendo que g'(z)=\dfrac{1}{z} e h'(z)=2z, obtemos
\mathrm{f}'(z)=\frac{\dfrac{1}{z}\,(z^{2}-1)-\log(2z)\cdot 2z}{(z^{2}-1)^{2}}.
Deixo uma forma ligeiramente mais compacta (útil para avaliar numericamente):
\mathrm{f}'(z)=\frac{(z^{2}-1)/z -2z\log(2z)}{(z^{2}-1)^{2}} =\frac{z^{2}\bigl(1-2\log(2z)\bigr)-1}{z\,(z^{2}-1)^{2}}.
Essa expressão é válida sempre que todos os passos de derivação fazem sentido, ou seja, em pontos com z\neq 0, z\neq\pm1 e com 2z fora do corte do log.

Passo 6

Escolhendo um ponto adequado para avaliar a derivada: uma boa escolha simples é z=\dfrac{1}{2}. Por quê?
  • Verificações rápidas: z=\dfrac{1}{2}\neq 0 e \dfrac{1}{2}\neq \pm 1.
  • Além disso, 2z=2\cdot\dfrac{1}{2}=1, que é um número real positivo; no ramo principal do log, 1 não está no corte e \log(1)=0. Logo z=\dfrac{1}{2} pertence ao domínio onde \mathrm{f} é holomorfa, e podemos avaliar \mathrm{f}' aí sem problemas.

Passo 7

Avaliação passo a passo em z=\dfrac{1}{2}.
Primeiro, calcule os termos que aparecem na fórmula:
\log(2z)\Big|_{z=1/2}=\log(1)=0.
z^{2}\Big|_{z=1/2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
z^{2}-1\Big|_{z=1/2}=\tfrac{1}{4}-1=-\tfrac{3}{4}.
Agora use a forma compacta
\mathrm{f}'(z)=\frac{z^{2}\bigl(1-2\log(2z)\bigr)-1}{z\,(z^{2}-1)^{2}}.
Substituindo z=\tfrac{1}{2} e \log(2z)=0:
\mathrm{f}'\!\left(\tfrac{1}{2}\right) =\frac{\tfrac{1}{4}\bigl(1-0\bigr)-1}{\tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}} =\frac{\tfrac{1}{4}-1}{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{9}{16}} =\frac{-\tfrac{3}{4}}{\tfrac{9}{32}}.
Calcule a divisão:
\frac{-\tfrac{3}{4}}{\tfrac{9}{32}} = -\tfrac{3}{4}\cdot \tfrac{32}{9} = -\tfrac{96}{36} = -\tfrac{8}{3}.
Portanto \mathrm{f}'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{8}{3}.

Passo 8

Resumo final e interpretação didática (animação amiga):
  • A função \mathrm{f}(z) é diferenciável (holomorfa) em qualquer ponto z tal que
    • z\neq 0,
    • z\neq \pm 1,
    • e 2z não caia no corte do ramo do logaritmo escolhido (para o ramo principal: 2z\not\in(-\infty,0]).
      Em outras palavras, em qualquer aberto onde \log(2z) seja holomorfo e o denominador não zere, \mathrm{f} é holomorfa.
  • A derivada geral é
\mathrm{f}'(z)=\frac{(z^{2}-1)/z -2z\log(2z)}{(z^{2}-1)^{2}} =\frac{z^{2}\bigl(1-2\log(2z)\bigr)-1}{z\,(z^{2}-1)^{2}},
válida nos pontos do domínio descrito acima.
  • Num ponto escolhido e simples, z=\tfrac{1}{2}, tem‑se
\mathrm{f}'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{8}{3}.

Resposta

A função é diferenciável em qualquer z com z\neq 0, z\neq\pm1 e tal que 2z não pertença ao corte do ramo do logaritmo (para o ramo principal: 2z\not\in(-\infty,0]).
\displaystyle \mathrm{f}'(z)=\frac{z^{2}\bigl(1-2\log(2z)\bigr)-1}{z\,(z^{2}-1)^{2}}.
\displaystyle \mathrm{f}'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{8}{3}.

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