Analise a derivabilidade das funções abaixo. Calcule o valor da derivada em um ponto adequado. \mathrm{f}(\mathrm{z})=\frac{\log (2 z)}{z^{2}-1}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Analisar a derivabilidade da função \mathrm{f}(\mathrm{z})=\dfrac{\log(2z)}{z^{2}-1}: isto é, determinar em que pontos de \mathbb{C} a função é diferenciável (holomorfa).
Calcular o valor da derivada num ponto adequado (ou seja, escolher um ponto onde a função seja diferenciável e avaliar \mathrm{f}'(\mathrm{z}) ali).
Informações dadas explícitas:
A função envolve \log(2z) (logaritmo complexo) e um denominador z^{2}-1.
Pontos potencialmente problemáticos: zeros do denominador z^{2}-1=0 e pontos onde \log(2z) não está definida/holomorfa (por exemplo 2z=0 e a linha de corte do ramo do logaritmo).
Passo 2
Antes de mexer nas contas, precisamos entender onde o logaritmo complexo é holomorfo (aulas rápidas e práticas).
O logaritmo complexo não é uma função inteira: ele não pode ser definido holomorficamente em todo \mathbb{C} porque é multivalorado. Para trabalhar, escolhe-se um ramo (por exemplo o ramo principal) que é holomorfo em \mathbb{C} menos uma semi‑reta (o “corte de ramo”).
Para o ramo principal do logaritmo, a função \log w é holomorfa em \mathbb{C}\setminus (-\infty,0] (ou seja, em todos os complexos exceto os reais não positivos). Nesses pontos vale a derivada
\frac{d}{dw}\log w=\frac{1}{w}.
Aplicando isso a w=2z, a composição z\mapsto \log(2z) será holomorfa em todo o conjunto onde 2z\not\in (-\infty,0] (ou seja, z\not\in(-\infty,0]/2) e onde 2z\neq 0 (isto é, z\neq 0). No ponto onde o ramo for escolhido de outra forma, a conclusão é análoga: há sempre um corte que exclui uma semi‑reta de pontos para os quais 2z cai na semi‑reta de corte do log.
Resumo prático: para o ramo principal, \log(2z) é holomorfo em
\mathbb{C}\setminus\bigl((-\infty,0]/2\bigr),
que também exclui z=0.
Passo 3
Agora combine as restrições da parte logarítmica com as do denominador:
O denominador z^{2}-1 anula-se em z=\pm 1. Nesses pontos a função tem singularidades (pólos possivelmente) e não é diferenciável.
Da análise do log: excluir z=0 e os pontos z tais que 2z\in(-\infty,0] (para o ramo escolhido).
Portanto, a função \mathrm{f}(z) só pode ser diferenciável em pontos z que satisfaçam simultaneamente:
Explico por que, nesses pontos, a função é de fato diferenciável (raciocínio teórico-prático):
A função z\mapsto \log(2z) é holomorfa em qualquer aberto que não cruze o corte e que não contenha z=0, portanto sua derivada é dada por regra da cadeia:
A função z\mapsto z^{2}-1 é um polinômio, logo holomorfa em todo \mathbb{C} e sua derivada é 2z.
Produto, soma e quociente de funções holomorfas (num ponto onde o denominador é não nulo) são holomorfas. Assim, em qualquer ponto que satisfaça as restrições do Passo 3, podemos aplicar a regra do quociente para obter a derivada de \mathrm{f}.
Passo 5
Agora calculo explicitamente a derivada simbólica usando a regra do quociente e a regra da cadeia. Começando de
\mathrm{f}(z)=\frac{\log(2z)}{z^{2}-1},
aplico a regra do quociente: se g(z)=\log(2z) e h(z)=z^{2}-1, então
Essa expressão é válida sempre que todos os passos de derivação fazem sentido, ou seja, em pontos com z\neq 0, z\neq\pm1 e com 2z fora do corte do log.
Passo 6
Escolhendo um ponto adequado para avaliar a derivada: uma boa escolha simples é z=\dfrac{1}{2}. Por quê?
Verificações rápidas: z=\dfrac{1}{2}\neq 0 e \dfrac{1}{2}\neq \pm 1.
Além disso, 2z=2\cdot\dfrac{1}{2}=1, que é um número real positivo; no ramo principal do log, 1 não está no corte e \log(1)=0. Logo z=\dfrac{1}{2} pertence ao domínio onde \mathrm{f} é holomorfa, e podemos avaliar \mathrm{f}' aí sem problemas.
Passo 7
Avaliação passo a passo em z=\dfrac{1}{2}.
Primeiro, calcule os termos que aparecem na fórmula:
Resumo final e interpretação didática (animação amiga):
A função \mathrm{f}(z) é diferenciável (holomorfa) em qualquer ponto z tal que
z\neq 0,
z\neq \pm 1,
e 2z não caia no corte do ramo do logaritmo escolhido (para o ramo principal: 2z\not\in(-\infty,0]).
Em outras palavras, em qualquer aberto onde \log(2z) seja holomorfo e o denominador não zere, \mathrm{f} é holomorfa.
A função é diferenciável em qualquer z com z\neq 0, z\neq\pm1 e tal que 2z não pertença ao corte do ramo do logaritmo (para o ramo principal: 2z\not\in(-\infty,0]). \displaystyle \mathrm{f}'(z)=\frac{z^{2}\bigl(1-2\log(2z)\bigr)-1}{z\,(z^{2}-1)^{2}}. \displaystyle \mathrm{f}'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{8}{3}.