Analise a derivabilidade das funções abaixo. Calcule o valor da derivada em um ponto adequado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- analisar a derivabilidade (ou seja, onde
é complexamente diferenciável / holomorfa); - calcular o valor da derivada num ponto adequado.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há um termo exponencial
. - Há um polinômio multiplicado por
: . - Há um produto envolvendo
: . Note que é a função logaritmo complexo — ela NÃO está definida (nem é holomorfa) em e precisa de uma escolha de ramo (por exemplo, o ramo principal com corte negativo real).
Passo 2
Ideia geral e regras de derivação complexa que vamos usar (com explicação didática e exemplos simples):
- Soma e produto de funções holomorfas são holomorfas no domínio comum. Logo, se cada termo for holomorfo numa região
, a soma será holomorfa em . - Derivada do exponencial: para qualquer constante complexa
, a função é inteira (holomorfa em todo ) e sua derivada é
Exemplo concreto: se
, então
.
- Derivada de polinômio: para
, tem-se . Multiplicando por constante dá . - Derivada do logaritmo: se escolhe um ramo de
holomorfo numa região que não contém e que é simplesmente conexa evitando o corte, então
Isto é um fato padrão em análise complexa (é análogo ao caso real
, mas aqui exige cuidado com ramo e argumento).
- Regra do produto (válida em
como no real): se e são diferenciáveis em , então
Aplicaremos essa regra ao termo
.
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo para obter
.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
usando a regra do produto:
- Tomamos
e . - Então
e (na região onde é holomorfo). - Pela regra do produto,
Agora simplificamos o segundo termo:
Logo
Passo 4
Somando as derivadas parciais obtemos a expressão para
(válida onde
for holomorfa, isto é, onde
está definida e diferenciável):
Comentários sobre domínio de validade:
- Os dois primeiros termos
e são inteiros (definidos e holomorfos em todo ). - O termo que limita o domínio é
. Para que a derivada acima faça sentido precisamos escolher um ramo de e trabalhar no domínio desse ramo. Se escolhermos o ramo principal do logaritmo complexo, sua região de holomorfia é (ou seja, todo o plano menos o eixo real negativo e o zero). Em particular, não pode ser e não pode estar no corte escolhido. - Conclusão:
é diferenciável (holomorfa) em qualquer região onde é holomorfa; por exemplo, com o ramo principal, é holomorfa em . Em pontos do corte ou em a função não é definida/holomorfa.
Passo 5
Cálculo da derivada num ponto conveniente: escolhemos
(é um ponto simples e está no domínio do ramo principal, pois
).
Usando a expressão encontrada:
substituindo
:
-
, -
, -
em é , -
em é .
Logo
Simplificando os termos reais:
Também se pode escrever fatorando
: