Analise a derivabilidade das funções abaixo. Calcule o valor da derivada em um ponto adequado.
f(z)=e^{i 2 z}+i 3 z^{2}+(z+1) \log (z)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=e^{i 2 z}+i 3 z^{2}+(z+1)\log(z)
e pede duas coisas:
  • analisar a derivabilidade (ou seja, onde f é complexamente diferenciável / holomorfa);
  • calcular o valor da derivada num ponto adequado.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há um termo exponencial e^{i2z}.
  • Há um polinômio multiplicado por i: i3z^{2}.
  • Há um produto envolvendo \log(z): (z+1)\log(z). Note que \log(z) é a função logaritmo complexo — ela NÃO está definida (nem é holomorfa) em z=0 e precisa de uma escolha de ramo (por exemplo, o ramo principal com corte negativo real).

Passo 2

Ideia geral e regras de derivação complexa que vamos usar (com explicação didática e exemplos simples):
  • Soma e produto de funções holomorfas são holomorfas no domínio comum. Logo, se cada termo for holomorfo numa região D, a soma será holomorfa em D.
  • Derivada do exponencial: para qualquer constante complexa a, a função z\mapsto e^{az} é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}) e sua derivada é
\frac{d}{dz}e^{az}=a e^{az}.
Exemplo concreto: se a=i2, então \dfrac{d}{dz}e^{i2z}=i2\,e^{i2z}.
  • Derivada de polinômio: para z\mapsto z^{2}, tem-se \dfrac{d}{dz}z^{2}=2z. Multiplicando por constante i3 \dfrac{d}{dz}(i3 z^{2})=i3\cdot 2z=i6z.
  • Derivada do logaritmo: se escolhe um ramo de \log(z) holomorfo numa região D que não contém 0 e que é simplesmente conexa evitando o corte, então
\frac{d}{dz}\log(z)=\frac{1}{z} \qquad\text{para todo }z\in D.
Isto é um fato padrão em análise complexa (é análogo ao caso real \dfrac{d}{dx}\ln x = 1/x, mas aqui exige cuidado com ramo e argumento).
  • Regra do produto (válida em \mathbb{C} como no real): se u(z) e v(z) são diferenciáveis em z, então
\frac{d}{dz}\bigl(u(z)v(z)\bigr)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).
Aplicaremos essa regra ao termo (z+1)\log(z).

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo para obter f'(z).
  1. Derivada de e^{i2z}:
\frac{d}{dz}e^{i2z}=i2\,e^{i2z}.
  1. Derivada de i3 z^{2}:
\frac{d}{dz}\bigl(i3 z^{2}\bigr)=i3\cdot 2z=i6z.
  1. Derivada de (z+1)\log(z) usando a regra do produto:
  • Tomamos u(z)=z+1 e v(z)=\log(z).
  • Então u'(z)=1 e v'(z)=1/z (na região onde \log é holomorfo).
  • Pela regra do produto,
\frac{d}{dz}\bigl((z+1)\log(z)\bigr)=1\cdot\log(z)+(z+1)\cdot\frac{1}{z}.
Agora simplificamos o segundo termo:
\frac{z+1}{z}=1+\frac{1}{z}.
Logo
\frac{d}{dz}\bigl((z+1)\log(z)\bigr)=\log(z)+1+\frac{1}{z}.

Passo 4

Somando as derivadas parciais obtemos a expressão para f'(z) (válida onde \log(z) for holomorfa, isto é, onde \log está definida e diferenciável):
f'(z)=i2\,e^{i2z}+i6z+\log(z)+1+\frac{1}{z}.
Comentários sobre domínio de validade:
  • Os dois primeiros termos e^{i2z} e i3z^{2} são inteiros (definidos e holomorfos em todo \mathbb{C}).
  • O termo que limita o domínio é \log(z). Para que a derivada acima faça sentido precisamos escolher um ramo de \log e trabalhar no domínio desse ramo. Se escolhermos o ramo principal do logaritmo complexo, sua região de holomorfia é \mathbb{C}\setminus (-\infty,0] (ou seja, todo o plano menos o eixo real negativo e o zero). Em particular, z não pode ser 0 e não pode estar no corte escolhido.
  • Conclusão: f é diferenciável (holomorfa) em qualquer região onde \log(z) é holomorfa; por exemplo, com o ramo principal, f é holomorfa em \mathbb{C}\setminus (-\infty,0]. Em pontos do corte ou em z=0 a função não é definida/holomorfa.

Passo 5

Cálculo da derivada num ponto conveniente: escolhemos z=1 (é um ponto simples e está no domínio do ramo principal, pois \log(1)=0).
Usando a expressão encontrada:
f'(z)=i2\,e^{i2z}+i6z+\log(z)+1+\frac{1}{z},
substituindo z=1:
  • \log(1)=0,
  • \dfrac{1}{1}=1,
  • i6z em z=1 é i6,
  • i2\,e^{i2z} em z=1 é i2\,e^{i2}.
Logo
f'(1)=i2\,e^{i2}+i6+0+1+1.
Simplificando os termos reais:
f'(1)=i2\,e^{i2}+i6+2.
Também se pode escrever fatorando i:
f'(1)=i\bigl(2e^{i2}+6\bigr)+2.

Resposta

f'(z)=i2\,e^{i2z}+i6z+\log(z)+1+\dfrac{1}{z}, para todo z onde \log(z) é holomorfa (por exemplo, com o ramo principal: z\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0], z\neq0).
f'(1)=i2\,e^{i2}+i6+2.

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